log(－i),log(√3+i),eの1+t乗、eの1－ni乗の解答・・・

log(－i),log(√3+i),eの1+t乗、eの1－ni乗のすべての解法がわかるサイトがあれば、教えてください。
また、その答えも教えてください。

No.1 回答者： phusike 回答日時： 2008/02/08 02:34

まあ答えだけでよければGoogle電卓で一発で出ますが……

exp(a+ib) = exp(a)exp(ib) = ？
この答えが分かれば、
w = log z ⇔ exp w = z
から対数の方も分かります。

分からなければ分かるところまで補足に書いて下さい。
ヒント：もちろんexp(iθ) = cosθ + i sinθを用います。

この回答への補足

すいません。
全くわからないので詳しく解答してください。
よろしくお願いします。

補足日時：2008/02/08 02:52

No.2 回答者： proto 回答日時： 2008/02/08 03:16

問題を解く以前に、指数関数と対数関数が複素数の範囲でどう定義されているか解っていないですよね？

こういうのを基本中の基本と言います。

まず指数関数
オイラーの公式
　　e^(i*θ) = cos(θ)+i*sin(θ)
これと
　　e^(a+bi) = e^a * e^(bi)
を合わせればeの1+t乗、eの1－ni乗は解ける。
虚部と実部に分けて、虚部はオイラーの公式で展開すればいい。

次に対数関数
オイラーの公式をよーく見ると複素数の極形式z=r(cosθ+i*sinθ)は
　　z = r(cosθ+i*sinθ) = r*e^(i*θ)
と書けることがわかる
両辺の対数を取ると
　　log(z) = log(r*e^(i*θ)) = log(r) + log(e^(i*θ))
　　　　　 = log(r) + i*θ
これが複素数の対数の定義
つまりzを極形式で書いてから対数を取ればok。
これでlog(－i),log(√3+i)も解ける。
この場合-i,√3+iを極形式に直してから対数を取ればいい。

この回答への補足

eの1+t乗、eの1－ni乗がまだはっきりと解らないので、解を詳しく教えてください。

補足日時：2008/02/08 04:05

No.3 ベストアンサー 回答者： proto 回答日時： 2008/02/08 13:37

＞eの1+t乗、eの1－ni乗がまだはっきりと解らないので、解を詳しく教えてください。

#2で示した公式を掛け合わせるだけなのだが、自分で考える気ありますか？

　　e^(a+bi) = e^a * e^(bi)
　　　　　　 = e^a * (cos(b)+i*sin(b))
　　　　　　 = (e^a)cos(b) + i*(e^a)sin(b)
積に分け、展開して、実部虚部ごとにまとめただけです。