代数学の基本定理と複素数体cより濃度が大きい環？

代数学の基本定理では、複素数を係数に持つ任意の、n次方程式は必ず、n個の複素数の根を持つ、とあります。私は、これは、複素数体cより濃度が大きい体を考えても無駄ということを意味すると思うので、一般に、複素数体cより濃度が大きい環を考えても無駄だと思うのですが、複素数体cより濃度が大きい環はあるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： phusike 回答日時： 2008/02/08 19:48

「複素数から複素数への写像の集合」Fは複素数体Cより濃度が大きいですよね。

Fの元f,gについて、
加法を f+g : z → f(z) + g(z)
乗法を fg : z → f(z)g(z)
と定義しましょう。

この時、零元は 0F : z → 0 、
fのマイナス元は -f : z → -f(z) であり、
交換法則・結合法則は満たします。

また、単位元は 1F : z → 1 、
fの逆元は f ≠ 0Fの時 f^(-1) : z → 1/f(z) であり、
交換法則・結合法則は満たします。

また、分配法則も満たすので、可換体になっていないでしょうか。

この回答へのお礼

教えてくれてありがとうぞざいました。

お礼日時：2008/02/10 17:09

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/02/08 21:16

体の拡大には「代数的拡大」と「超越拡大」があることは、体論ですぐに習うはずです。

この回答へのお礼

教えてくれてありがとうございました。

お礼日時：2008/02/10 17:12