無理関数 y = √(2x+1) と直線 y = x-1 の交点の座標

無理関数 y = √(2x+1) と直線 y = x-1 の交点の座標を求めよ

解答

無理関数 y = √(2x+1) の定義域は x >= -1/2, 値域は y >= 0 である

√(2x+1) = x-1 の両辺を２乗すると、

　　　　　　　　　2x+1 = (x-1)^2
　　　　　　　x^2 - 4x = 0
　　　　　　　　x(x-4) = 0
　　　　　　　　　　　x = 0,4

無理関数の値域を考えると、この方程式の解は x = 4 だけとなる。よって、交点の座標は (4,3).

となっているのですが

定義域と値域はどのようにしてもとめるのですか。

また、

無理関数の値域を考えると、この方程式の解は x = 4 だけとなる.とありますが、

x = 0,4 を y = √(2x+1) に当てはめて、値域 y >= 0 であればいいのですか。この場合、どちらもいいように思うのですが、どうなんでしょうか。

よくわからないので、よろしくお願いします。

最後に、この問題とは関係ないんですが、√0 = 0 ですか。

No.5 回答者： nekochari 回答日時： 2005/07/24 21:23

　#3補足の(1)でx>=-1 ですから、解の3,-1の両方とも この条件を満たしています。

No.4 回答者： nekochari 回答日時： 2005/07/24 06:14

　定義域と値域の求め方は皆さまのおっしゃるとおり。

　ただし、「ルートの値は正」ではなく「ルートの値は正か０」です。０を落とすとえてして不正解とされます。

　後の方の質問は、x=0 を　二つの式に入れてみるとわかります。y=x-1 に入れると y=-1 になってしまうでしょ？　でも y = √(2x+1) の値域は正かゼロなんだから y=-1 はおかしいといってるわけです。


　でもって、なんでこういうチェックが要るかというと、答えを求めるときに等式の両辺を二乗しているからです。このとき、
√(2x+1) = x-1
の解と同時に
－√(2x+1) = x-1
の解も紛れ込んでくることになるわけです。
　どちらの解であるかを判別するために、√(2x+1) の値域を見る必要があります。

この回答への補足

別の問題なのですが、

次の方程式を解け

√(2x+3) - √(x+1) = 1

解答

2x+3 >= 0, x+1 >= 0 より x >= -1 ....(1)

√(2x+3) - √(x+1) = 1 ⇔ (x+1)(x-3) = 0

よって、(1)より、x = 3.


この場合

x = -1,3ですよね。
-1も(1)を満たしていると思うんですが、わからないのでお願いします。

補足日時：2005/07/24 19:48

No.3 回答者： JAPAN2004 回答日時： 2005/07/24 02:52

○(2x+1)がマイナスになるとどうなるか、そんなことがあるのでしょうか？

○yの値がマイナスになるということはどういうことでしょう。つまり√(2x+1)がマイナスになることはあるのでしょうか？

ここにヒントがあります。

No.2 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/07/24 02:49

ルートの中は正でないといけないので、

(2x+1) >=0から x >= -1/2,

ルートは必ず正なので、y >= 0

また、x=0のとき、y=x-1からx=0のとき、y=-1となり、
これは無理関数の地域にあてはまらないから不適となります。

√０＝０です。

No.1 回答者： Josquin 回答日時： 2005/07/24 02:47

定義域は√の中身が正であることから求めます。

値域は√の値は正しかありえないので。

「無理関数の値域を考えると」ではなくて、「無理関数の定義域を考えると」が正しいと思います。

√0 = 0 です。