Nを自然数、-Nを負の整数全体の集合とする。|N|をNの濃度と表す。P(N)をNのべき集合とする。

Nを自然数、-Nを負の整数全体の集合とする。|N|をNの濃度と表す。P(N)をNのべき集合とする。
(1)|P(NU-N)|=|P(N)×P(-N)|を示せ。
(2)1を用いて|R*2|=|R|を示せ。(Rは実数全体の集合、R*2はR×Rの直積を表します。)
これが分かりません。
ヒントは
(1)全単射P(N)×P(-N)→P(NU-N)を作る。
(2)カントールの定理を用いる。
だそうです。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/08/23 04:20

|N|=|NU-N|

だから
|P(N)|=|P(NU-N )|
となります

|P(N)|×|P(-N)|=|P(N)×P(-N)|
は
濃度と濃度の掛け算
|P(N)|×|P(-N)|
を
|P(N)×P(-N)|
と定義するという定義式であって
左辺と右辺は同じ意味になるので

|P(N)×P(-N)|=|P(N)|
を証明する事と
|P(N)|×|P(-N)|=|P(N)|
を証明する事は
同じになります

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/08/19 09:30

(1)

h:P(N)×P(-N)→P(NU-N)
A⊂N
B⊂-N
h(A,B)=AUB
とすると
AUB⊂NU-N
だからwell-defined
A⊂N
B⊂-N
C⊂N
D⊂-N
h(A,B)=h(C,D)
とすると
AUB=CUD
A=(AUB)∩N=(CUD)∩N=C
B=(AUB)∩-N=(CUD)∩-N=D
だからhは単射
Y⊂NU-N
とすると
h(Y∩N,Y∩-N)
=(Y∩N)U(Y∩-N)
=Y∩(NU-N)
=Y
だからhは全射
だから
hは全単射
だから
|P(NU-N)|=|P(N)×P(-N)|

(2)
|P(N)|=|P(-N)|=|P(NU-N)|=|R|
だから
|P(N)×P(-N)|=|R^2|

↓(1)から|P(NU-N)|=|P(N)×P(-N)|だから

|R^2|=|P(N)×P(-N)|=|P(NU-N)|=|R|

∴
|R^2|=|R|

この回答へのお礼

(2)の|P(N)|=|P(NU-N )|はなぜこうなるのでしょうか。
また、|P(N)|×|P(-N)|=|P(N)×P(-N)|としてもよいのでしょうか。
試験などでは証明は書いた方がよいのでしょうか。

お礼日時：2020/08/22 22:59