自然対数 log(GNP)は何を表しているか？

しばしば経済学で自然対数が用いられますが、よく理解できてません。

例えば昭和45年の日本のGNPは73.19兆円で、log(GNP)=4.293になります。もちろん数学的には自然対数の底eの4.293乗は73.19という意味だと思います。

これまでlog(GNP)とあれば、GNPの
成長率と思って見なしてきました。
しかし、
例えば、昭和45年のGNP73.19兆円log(GNP)=4.293
昭和46年のGNP80.59兆円log(GNP)=4.389
ここから4.389-4.293=0.096=約10％
の成長であることは理解できました。

通常イメージする成長率はこの10％だと思います。
一体、4.293とは何か？という疑問です。

また、もしこれが成長率だとすればなぜ
たった一つのデータから成長率が出てくるかが
不思議なのです。

お手数ですがまた丁寧な説明や例でお教えいただけません
でしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： at9_am 回答日時： 2008/02/10 22:09

前の質問(

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3756423.html)にも回答したものです。

> 通常イメージする成長率はこの10％だと思います。一体、4.293とは何か？という疑問です。

それだけでは意味がありません。単に数値を変換しただけです。

成長率である、という解釈は、成長率 r は、例えば 2007 年の GDP を Y07、2006 年の GDP を Y06 とすると
r = (Y07 - Y06)/Y06 = Y07/Y06 - 1
と定義できますが、
log(Y07 / Y06) = log(Y07) - log(Y06)
ですし、成長率は数％なので r は 0 に非常に近い数値になるはずです。ここから近似的に
r = log(1+r) = log(Y07/Y06) = log(Y07) - log(Y06)
と書き表すことが出来るので、成長率の計算が対数の差で簡単に出来るわけです。

この回答への補足

ご回答大変感謝しております。有難う御座いました。
理解は多少進んだ気がしますが、まだ少し疑問が残ります。
恐らく分かったであろう事は

1　log(GNP)は数値自体は違っても単位を変化させて表現しただけで同じGNPを表している。
2　（すなわち）それだけでは変化率ではない。
という事だと思います。
また、logを使って足し算や引き算(logY=logX - logZのように)
を行えば変化率（成長率）が計算可能、ということなのだと思います。

しかし、そこで分からないのは
以下は以前、at9_amさんが書いてくださった回答ですが

"別の言い方をすれば、対数というのが、
ln(x)'=1/x
という関係から、
ln(x) = 1/x dx ≒ Δx / x"

ここで単に私がわからないだけなのですが、
dln(x)/dx = 1/x
dln(x) = 1/x dx
だと思うのですが、左辺のdは
どこへ行ってしまったのでしょうか？
dln(x) = ln(x)
なのでしょうか？

本当に近似なのでしょうか？
昭和45年から46年にかけてのGNP成長率が約10%なので
log(GNP)=4.293
とは大分違う気がしますが如何でしょうか？

ただ理解したい一心で書かせていただきました。
分かる範囲内で構いませんので御答えいただけないでしょうか？
もし、他にご説明できるかたいらっしゃればat9_am様以外でも
別の方法などでご説明戴けないでしょうか？
at9_am様、お手数お掛けいたしますが
お願いできませんでしょうか？

補足日時：2008/02/12 22:51

No.5 回答者： go272 回答日時： 2008/02/15 12:23

------------------------------------------------------

dGNP[t]/dt=b*A*exp{b*t}=b*GNP[t]

となるのでGNPは毎期ごとにbづつ成長していくことになります。
瞬間のtについて考えたはずなのに、毎期ごとの成長率になるのは不思議な感じがしますが、
簡単に考えるなら、dGNP[t]っていうのが微小なtの変化に対するGNPの変化であり、
それを微小なtの変化で割っているのでtの単位当たりの変化になります。
-------------------------------------------------------

訂正：毎期ごとの成長率になるのは→毎期ごとの変化になるのは

成長率を考えるならそのあとGNP[t]で割るべきですね。
dGNP[t]/dt　自体はGNPのtの単位当たりの変化なので、
それをGNP[t]で割ると成長率になります。
結果として成長率bが得られます。

No.4 回答者： go272 回答日時： 2008/02/15 12:05

一般にGNPをはじめとするマクロ経済時系列は上昇トレンドを持っています。

グラフを見ると明らかでしょうし、経済は成長しているんだから当たり前と言えば当たり前です。
この上昇を説明するときに線形の（直線の）トレンドと見るよりは、
指数的な、毎期ごとに定率で増えていくとみた方が自然です。
こう考えるなら、GNPについて第t期の値は

GNP[t]＝A*exp{b*t}…(1)

と表せます。(exp{x}は「eのx乗」）Aは初期値みたいなものです。ここで

dGNP[t]/dt=b*A*exp{b*t}=b*GNP[t]

となるのでGNPは毎期ごとにbづつ成長していくことになります。
瞬間のtについて考えたはずなのに、毎期ごとの成長率になるのは不思議な感じがしますが、
簡単に考えるなら、dGNP[t]っていうのが微小なtの変化に対するGNPの変化であり、
それを微小なtの変化で割っているのでtの単位当たりの変化になります。
(1)に対数をとると

lnGNP[t]=lnA+b*t

となります。昭和45,46年で考えてみましょう。

lnGNP[45]=lnA+b*45=4.293
lnGNP[46]=lnA+b*46=4.389
lnGNP[46]-lnGNP[45]=b=0.096

つまり、この解釈だと4.2という数字は全部こみこみなのです。
そのため4.2と10％がよくわからなくなったのだと思います。


上昇トレンドについてもうひとつの考え方があります。
その最も簡単な例は

Y[t]=Y[t-1]+A…(2)

と表されます。（前の値に値を足していくという考え方）
上の議論と同じように経済は指数的に成長すると考えられるので対数をとるんですが、
ここではラグオペレータとかいう作用素をかませて計算します。
説明なしで結果をかくと

lnY[t]=lnY[t-1]+lnA

先ほどと同じ例を使えば

lnGNP[46]=lnGNP[45]+lnA
lnGNP[46]-lnGNP[45]=lnA

となります。ここで,
A.No2さんが書いて下さった近似をつかうと左辺が成長率となり、
これを計算すると0.09になります。
実際には、経済時系列はこっちで考えた方がいいというようなことが言われています。
[たとえば Nelson and Plosser(1982)]


説明をなるべく簡潔にするためにかなり重要な部分も省いています。
あくまでも考え方だけということにしておいてください。

No.3 回答者： at9_am 回答日時： 2008/02/13 20:20

＃２です。

すみません、ミス発見です。失礼しました。正しくは、

1/x dx ≒ Δx / x
から
Δlog(x) = Δx / x

です。
なので、対数の差で伸び率を表すことが出来る、ということになります。

No.1 回答者： 2kaku34 回答日時： 2008/02/09 22:58

ネイピア数（2.71828、πと同じくある定数）

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4% …
数学者に感謝
http://economics008.cocolog-nifty.com/blog/2007/ …
もともと、複利計算（利息に利息が付く）のために使われている。
借金の計算方法
http://daigakusei.daa.jp/money/shakeisan.html
Excel(エクセル)基本講座：財務関数（PMT関数）
http://www.eurus.dti.ne.jp/~yoneyama/Excel/kansu …
普通の人間には、累乗が分からないので、対数を使います。
ちなみに、パソコンも累乗を対数で計算し、指数に戻します。
それで、昔のパソコンは誤差が大きかった。