No.1
- 回答日時:
ローラン級数展開は,一般には簡単ではありません.
(複素積分を実行する必要がある)
ですが,問題として出てくるようなものはだいたい
「負のべきを含む多項式」と,「テイラー展開を知っている関数」の
組み合わせなので,テイラー展開したあとに多項式を掛ければ
簡単にローラン展開が求まります.
例えば今回の問題については,1/Z^3 で括りだせば
1/Z^3 1/(1 + Z^2)
となりますが,1/(1 + Z^2) のテイラー展開は
1/(1 + Z^2) = 1 + Z^2 + Z^4 + ...
であることを知っているので,組み合わせると
1/Z^3 (1 + Z^2 + Z^4 + ... ) = 1/Z^3 + 1/Z + Z + Z^3 + ...
と,簡単にローラン展開できます.
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ローラン展開(テイラー展開も)には一意性があるので
どんな手を使ってでも展開したもの勝ち
です.そして,一番簡単に利用できるのは
1/(1-z) = 1+z+z^2+z^3+・・・・
の公式(等比級数の和の公式)です
(というか,ローラン展開の式そのものの証明が
これとコーシーの積分公式の組合せ).
そして,zに好き勝手な値を入れてしまうのです.
ありがちなのが,zの代わりに -z とか -z^2 とか.
ほかによく使うのが,e^z の展開です.
ちなみにNo.1さん
1+z^2+z^4+・・・・= 1/(1-z^2)ですよ.
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