シュヴァルツシルト時空での時間の固有時（一般相対論）

教えてください。
シュヴァルツシルト時空での、ある固定された位置rでの時間の経過
の式は、よく知られたように（dτ）＾2=（1-2GM/rc＾2 ）（dt)＾2
です。 これはシュヴァルツシルト計量のg(0,0)成分から素直に
分かる式ですが、これを重力場と局所慣性系との計量不変の式から
導く方法が理解できずにいます。

まず下の画像を御覧いただければと思います。
http://fairylandeureka.hp.infoseek.co.jp/s.jpg
（web上では見にくいと思いますので、誠にお手数ですが
いったんダウンロードして開いて見ていただけると幸いです）

あるテキストでは画像のような説明がされてあるのですが、
まず、ここで書かれている左辺の局所慣性系とは
『重力場で自由に落下している座標系』という理解で正しい
でしょうか。
そうすると、局所慣性系の観測者にとって重力場で固定された
位置rの点はどんどん離れていくはずですが、なぜ dr*=0 なの
でしょうか？
また、左辺のdt*は局所慣性系の観測者が測る時間であるはずなのに、
なぜこれを重力場の位置rに固定されたの物体の固有時と考える事が
できるのでしょうか？（dt*とdτは別であるように思うのです・・）

なにか根本的に捉え違えているようでしたら、その点も重ねて
御教授くださればと思います。どうぞよろしくお願いいたします。

No.5 回答者： edw-19 回答日時： 2008/03/06 17:34

原点?

この回答へのお礼

edw-19さんのご回答は文章の性質上どうもよく理解できずにおります。
なにか分かりましたら、またどうぞよろしくお願いいたします。

お礼日時：2008/03/06 20:18

No.4 回答者： edw-19 回答日時： 2008/03/06 01:51

そこの点座標の時計だからじゃないの？

この回答への補足

何がでしょうか？

補足日時：2008/03/06 02:04

この回答へのお礼

*系の原点に観測点（物体）が常にあるとすると dt*=dτ は成立すると思いますが、そうすると物体は自由落下しているという矛盾した帰結になってしまいます。
また、その場合 dr=0 が成立しなくなり、やはり矛盾が生じますよね。

お礼日時：2008/03/06 06:01

No.3 ベストアンサー 回答者： shiara 回答日時： 2008/03/05 22:28

No2です。

(dτ)^2=(1-v^2/c^2)(dt*)^2 ですから、v=0でない限り、dτ≠dt*です。テキストにそのように書いてる理由は分かりません。

この回答へのお礼

・・謎ですね。何が起こっているんでしょう。
テキストが誤まっているのでしょうか。
ちなみに画像は『時空の歪みとブラックホール/江里口良治 著』
からの抜粋です。（シュッツの相対論の訳者ですね）

お礼日時：2008/03/05 23:01

No.2 回答者： shiara 回答日時： 2008/03/04 22:23

局所慣性系とは、『重力場で自由に落下している座標系』です。

局所慣性系では、重力は働いていませんので、特殊相対性理論が適用できます。局所慣性系では、重力場内に固定された位置rの点はどんどん離れていくので、dr*=vdt*となります。したがって、左辺はv^2(dt*)^2-c^2(dt*)^2となり、固有時dτとは、(dτ)^2=(1-v^2/c^2)(dt*)^2 の関係になります（特殊相対性理論と同じ式です）。固有時は、どの座標系でも同じですから、問題の式は、正しくは、(1-v^2/c^2)(dt*)^2=(1-2GM/rc^2)(dt)^2となります。 なお、このtは、重力場を作る物体から遠く離れた場所に、（その物体に対して）静止している観測者の時間ですから、遠方に静止している観測者の時間と、自由落下している観測者の時間の関係を示すものです。vが大きくないところでは、非相対性理論の運動エネルギーと重力ポテンシャルエネルギーの関係式から、v^2=2GM/rとなりますので、dt*=dtとなります。

この回答へのお礼

shiaraさん、毎度ご回答ありがとうございます。
御指摘のように、やはりdr*=0 は成立しませんよね。
ご説明された内容は全面的に賛同できます。
そうであるのに、なぜ画像のテキストでは dr*=0 として
いるのか、という点が分からずにいるのです。

また、ご説明いただいた考察で dt*=dt という関係
も成立する事が改めてわかりましたが、しかし、
私が疑問に思っているのはそうではなく、
なぜテキストの(5-8)式にあるようにdt*=dτ が成立するのか、
という点です。

もし何かわかりましたら、どうぞよろしくお願い致します。

お礼日時：2008/03/05 02:16

No.1 回答者： edw-19 回答日時： 2008/03/03 22:34

あれま。

誰もきてない。　つ＾＿＾）つ

＞『重力場で自由に落下している座標系』という理解で正しい
でしょうか。

ちがーよ。
慣性座標だよ。

＞位置rの点はどんどん離れていくはずですが、なぜ dr*=0 なの
でしょうか？

ちがーよ。
空間座標は一定だよ。

い～～～からみんな０入れちまよ。（＾＿＾）

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>ちがーよ。慣性座標だよ。

慣性座標とは何でしょうか？
テキストには局所慣性系と書いてあるのですが、
この点はいかが思われますか？

>空間座標は一定だよ。

なぜでしょうか？・・謎だらけです。

お礼日時：2008/03/03 22:51