ロジスティック関数の積分

基本的なことなんですが、
1/(1+exp(-2x))の積分を教えてください。

log|1+exp(-2x)|
=log|1|+log|exp(-2x)|
=-2x ???
自信がありません。あっていますか？
また、あっているかどうか、確認する方法もご教授ください。
よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： phusike 回答日時： 2008/03/17 00:28

-2x を微分すると -2 ですから、合っているわけありませんよね。

1/(1+exp(-2x))を積分してlog|1+exp(-2x)|にするところがアウトです。
微分してみれば -2 exp(-2x) / [1+exp(-2x)] ですよね。
さらに、 log|M|+log|N| = log|MN| ≠ log|M+N| です。

1 / [ 1 + exp(-2x) ] =
exp 2x / ( exp 2x + 1 ) =
(1/2)( exp 2x + 1 )' / ( exp 2x + 1 )
ですから、積分して、
(1/2)log| exp 2x + 1 | + C
が答えですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
勉強します。

お礼日時：2008/03/20 15:42

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2008/03/17 00:38

　＃１さんの方法がスマートなので私もそうしますが、慣れないうちは地道に変数変換した方がよいように思います。

　ｔ＝exp(-2x) としますと、
　　dt＝2exp(-2x)dx　∴dx＝-dt/(2t)

　従って、
　　∫1/{1+exp(-2x)} dx
　＝-1/2 ∫dt/{t/(t+1)
　＝-1/2 ∫{1/t-1/(t+1)}dt
　＝-1/2 (log|t|-log|t+1|)+C （Ｃ：積分定数）
　＝log√{1+exp(2x)}+C

　積分した結果があっているかを確かめるには、微分してみることです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
もっと勉強します。
orz

お礼日時：2008/03/20 15:45