積分値を複素関数を使って求める

お世話になります。
【問題】
実変数θに対する下記の積分値を、複素関数を使って求めよ。
∫[ 0 → 2π ]1 / ( 5 - 3cosθ )^2 dθ

【自分の解答】
オイラーの公式より
cosθ = ( exp( iθ) + exp( -iθ ) ) / 2
これを与式に代入して
∫[ 0 → 2π ]1 / ( 5 - 3 ( exp( iθ) + exp( -iθ ) ) / 2　)^2 dθ = (*)
ここで
z = exp( iθ) + exp( -iθ )
とおくと
dθ/ dz = 1 / (dz / dθ) = 1 / iz
∴dθ= ( 1 / iz )dz
また
θ:0 → 2π
z :2 → 2
よって
(*) = ∫[2 → 2]1 / ( 5 - 3z / 2 )^2 ( 1 / iz )dz
(ここから不明)

【質問】
上記のやり方では積分範囲が2 → 2となり被積分関数がどんなものであろうとその積分値は0になってしまいます。
私の解答は間違っていると思うのですが、何が間違っているのか、どうすれば正しくなるのかがわかりません。
どなたかご教授よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2008/03/17 13:19

#1です。

ヒント）複素積分でやる場合の骨子だけ
定石通りの置換で
z=tan(θ/2)とおくと
dθ=2dz/(1+z^2)
積分をIとおくと
I=∫[0→∞](1+z^2)/(1+4z^2)^2dz
=(1/2)∫[-∞→∞](1+z^2)/(1+4z^2)^2dz
積分経路Cを複素平面の上半平面を反時計回りに変換して
=(1/2)∫c (1+z^2)/(1+4z^2)^2dz
z=i/2の留数を計算して
=(1/2)2πi*Res((1+z^2)/(1+4z^2)^2,z=i/2)
=5π/32

変形の途中は自力でやってみて確認して下さい。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2008/03/17 11:39

> z = exp( iθ) + exp( -iθ )

> とおくと
> dθ/ dz = 1 / (dz / dθ) = 1 / iz
ここで間違っています。確認してください。

積分は数学ソフトでは
I=2∫[0→π] 1/(5-3cos(θ))dθ=5π/32
となりました。