【簡単？】100人の会社に同じ誕生日がいる確率は？

「この会社には100人の社員がいます。
この社員の中の不特定の（誰でもいい）少なくとも1組以上が
同じ誕生日である確率は？」
という確率の問題です。

なんとなく分かりそうな気がするものの解き方が分かりません。
意外と簡単そうな予感がします。
（多分、95％以上の高確率だと思います）

「少なくとも1組ある」に対する余事象は、「1組も無い」となります。
これを1から引けばいいのでしょうか？

これが解けたら、「10人の時」も「200人の時」の場合も解けそうな気がします。

あともうちょっとで分かりそうなのに分からないので、ムズムズしてます。
誰か助けてください。

No.5 ベストアンサー 回答者： staratras 回答日時： 2008/04/23 23:23

これはかなり有名な問題の応用ですね。

有名な問題は、同じ誕生日の人が2人以上いる確率が50％を超えるのは何人のグループからか？というもので、正解は23人です。

23人のグループで、すべての誕生日の起こりうる組み合わせは３６５の２３乗、このうちすべての誕生日が異なる組み合わせは、
１人目の誕生日は３６５日のうちどの日でも良い、２人目の誕生日は１人目の誕生日以外の３６４日、３人目は１人目、２人目の誕生日以外の３６３日、以下同様に２３人目の誕生日は１，２，３…２２人目の誕生日以外の３４３日だから、365×364×363…×343
したがって、２３人の誕生日がすべて異なる確率は
（365×364×363…×343）／（365の23乗）≒0.493
よって求める確率は1－0.493＝0.507
（ちなみに22人では0.4757でわずかに届きません。）

この方法で１００人のグループを計算すると、（エクセル使用）
（365×364×363…×266）／（365の100乗）≒0.000000307
よって求める確率は1－0.000000307＝0.999999693
９９．９９９９７％つまりほぼ１００％です

No.4 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/04/23 23:09

＞　「少なくとも1組ある」に対する余事象は、「1組も無い」となります。

＞　これを1から引けばいいのでしょうか？
その通りです。皆さんご回答の通り。

＞　これが解けたら、「10人の時」も「200人の時」の場合も解けそうな気がします。
その通りだと思いますが、むしろ、人数が少ないときのことを考えてから人数が多い場合に拡張されるのがよろしいでしょう。

たとえば、A さん、B さん、C さんの３人で考えてみます。
A さんと B さんの誕生日が同じである確率は 1/365 、違う確率は 364 / 365 です。
B さんと C さんの誕生日が違う確率も 364/365 です。
C さんと A さんの誕生日が違う確率も 364/365 。
しかし、A, B, C 3人の誕生日がすべて違う確率は残念ながら (364/365)^3 とはなりません。A≠B, B≠C, C≠A という 3 つの事象が互いに独立ではないので。100人のときも、同様に (364/365)^(100C2) とはなりません。
#1 さんがおっしゃる通り、場合の数をきちんと数えて計算するのが良いでしょう。
3 人の場合は、1から365 の数字を3人に割り振る場合の数を考えればよいです。A, B, C 3人の全ての誕生日の組み合わせが 365^3 通り。
3人が異なる場合の数は、A さんが 365 通り、そのそれぞれに対して B さんは A さん以外の 364 通り、さらに C さんは、A, B 両氏以外の363 通りなので、365 × 364 × 363 = 365P3 通り。
よって、3 人の誕生日が異なる確率は 365P3 / (365^3)
100人の場合も同様に考えることができ、100人の誕生日の全ての組み合わせは 365^100 。
100人の誕生がすべて異なる場合の数は、3人のときと同様に 100 人に 1 から 365 の数字を１個づつ割り振る場合の数を考えればよく、即ち、1から365の数字を100個取り出して順に並べる順列の数であるから、365P100 （ = 365!/(365-100)!　）
よって、100人の誕生日がすべて異なる確率は
365P100 / (365^100) ≒ 3.07×10^(-7)
少なくとも１組が同じ誕生日である確率は
およそ 1 - 3.07×10^(-7) = 0.999999693
思ったよりも高かった。

No.3 回答者： Ichitsubo 回答日時： 2008/04/23 21:07

閏年を考えない場合です。

ある２人の誕生日が同じである確率＝1/365
ある２人の誕生日が異なる確率＝364/365

「全社員の誕生日が異なる」⇔「会社の中のどの２人組を選んできても誕生日が異なる」だから、すべての組み合わせで誕生日が異なる確率を考える。
100人の中から2人を選ぶ組み合わせは100C2=4950通り。
4950通りとも誕生日が異なる確率は(364/365)^4950＝1.265×10^-6
よって、誕生日が同じ組み合わせが最低１組以上ある確率は1-1.265×10^-6＝0.999999＝99.9999％≒100％

自信ないなあ

No.2 回答者： taunamlz 回答日時： 2008/04/23 18:09

全員の誕生日が違う確率＝３６５P１００/３６５＾１００

一人でも誕生日が同じ確率＝１－全員の誕生日が違う確率

No.1 回答者： outerlimit 回答日時： 2008/04/23 17:57

全くいないケースを想定し　全組あわせと比較です

365*（365-1）*・・・*（365-99）と365の百乗との

これは　厳密には確率論ではありません　組み合わせです