AB=E ならば　BA=E　の証明

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質問者：shuudai
質問日時：2002/11/09 23:43
回答数：8件

２つの行列A、Bについて

　AB＝E　⇒　BA=E

は真、と思うのですが、証明はどのようにすればよいのでしょうか。

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回答 (8件)

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No.8

回答者： MARIOworldhouse
回答日時：2011/08/02 17:27

数学の証明では証明できません。

式としては、
（A×B＝B×A）＝E

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No.7

回答者： b_black
回答日時：2002/11/12 00:07

一般に証明できません

結合法則の成り立つ代数系で証明できる必要十分条件は
BX=E なるXつまりBの右逆元の存在です

十分条件:
BA=BAE=BA*BX=B*AB*X
=BX=E

必要条件:　
必要ないですね！

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No.6

回答者： nubou
回答日時：2002/11/10 17:45

コピーミス

正しくありません
Ａが
［０　１　０］
［０　０　１］
であり
Ｂが
［０　０］
［１　０］
［０　１］
の場合
Ａ・Ｂが
［１　０］
［０　１］
となりますが
Ｂ・Ａが
［０　０　０］
［０　１　０］
［０　０　１］
となります
ただしＡとＢが正方行列の場合にはＡ・Ｂ＝Ｅ⇒Ｂ・Ａ＝Ｅです

今は逆行列という概念がない時代だとすると
Ｂの余因子行列を｜Ｂ｜（≠０は明らか）で割ったものをＢ’としたとき
Ｂ・Ｂ’＝Ｅとなるから
Ａ・Ｂ＝Ｅの両辺に右からＢをかけ左からＢ’をかけると
Ｂ・Ａ・Ｂ・Ｂ’＝Ｂ・Ｅ・Ｂ’
よって
Ｂ・Ａ＝Ｅ

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No.5

回答者： nubou
回答日時：2002/11/10 17:33

正しくありません

Ａが
［０　１　０］
［０　０　１］
であり
Ｂが
［０　０］
［０　０］
［０　１］
の場合
Ａ・Ｂが
［１　０］
［０　１］
となりますが
Ｂ・Ａが
［０　０　０］
［０　１　０］
［０　０　１］
となります
ただしＡとＢが正方行列の場合にはＡ・Ｂ＝Ｅ⇒Ｂ・Ａ＝Ｅです

今は逆行列という概念がない時代だとすると
Ｂの余因子行列を｜Ｂ｜（≠０は明らか）で割ったものをＢ’としたとき
Ｂ・Ｂ’＝Ｅとなるから
Ａ・Ｂ＝Ｅの両辺に右からＢをかけ左からＢ’をかけると
Ｂ・Ａ・Ｂ・Ｂ’＝Ｂ・Ｅ・Ｂ’
よって
Ｂ・Ａ＝Ｅ

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No.4

回答者： Nandayer
回答日時：2002/11/10 13:13

　問題の前提についてですが、

　　・ E は n 次単位行列である。
　　・ A, B は n 次正方行列である。
　　・ A, B の可逆性は仮定しない。
ですか？
　とすると、これは見かけより難しい（手間がかかる）問題です。
　私の手持ちの本では、
　　　齋藤正彦著「線型代数入門」東京大学出版会　ISBN4-13-062001-0
の P48 に、次のような定理が載っていますので、この系になるでしょう。
「 n 次正方行列 A に対し、XA = E となる n 次行列 X が存在すれば A は正則である。AX = E となる X の存在を仮定しても同様である。」
　証明は行列の基本変形を利用しています。

　 #4 さんの証明は間違いだと思いますので、指摘させていただきます。
　 AX = A より X が単位元だといっておられますが、ある１つの A だけで AX = A が成り立っていても X が単位元とは言えないのではないでしょうか？例えば、A と X を (1,1) 成分だけが 1 で他は 0 の正方行列とすると、 AX = A ですから。
　単位元 E の定義は、＜全ての＞ A にたいして AE = EA = A が成り立つことだったと思います。

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No.3

回答者： prome
回答日時：2002/11/10 04:28

群論がわかっていれば、比較的簡単に証明できます。

結合法則と単位元の一意性を使います。

A=EA=(AB)A=A(BA)　　　・・・(1)

よりBA=Eがわかります。　・・・(2)

(1)の説明
・最初の等号は単位元（単位行列）の性質から
・２番目の等号はAB=Eより
・３番目の等号は結合法則より
(2)の説明
・単位元の一意性より（掛けても同じになるのは単位行列だけ）