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2つの行列A、Bについて

 AB=E ⇒ BA=E

は真、と思うのですが、証明はどのようにすればよいのでしょうか。

gooドクター

A 回答 (8件)

数学の証明では証明できません。



式としては、
(A×B=B×A)=E
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一般に証明できません


結合法則の成り立つ代数系で証明できる必要十分条件は
BX=E なるXつまりBの右逆元の存在です

十分条件:
BA=BAE=BA*BX=B*AB*X
=BX=E

必要条件: 
必要ないですね!
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コピーミス



正しくありません
Aが
[0 1 0]
[0 0 1]
であり
Bが
[0 0]
[1 0]
[0 1]
の場合
A・Bが
[1 0]
[0 1]
となりますが
B・Aが
[0 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
となります
ただしAとBが正方行列の場合にはA・B=E⇒B・A=Eです

今は逆行列という概念がない時代だとすると
Bの余因子行列を|B|(≠0は明らか)で割ったものをB’としたとき
B・B’=Eとなるから
A・B=Eの両辺に右からBをかけ左からB’をかけると
B・A・B・B’=B・E・B’
よって
B・A=E
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正しくありません


Aが
[0 1 0]
[0 0 1]
であり
Bが
[0 0]
[0 0]
[0 1]
の場合
A・Bが
[1 0]
[0 1]
となりますが
B・Aが
[0 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
となります
ただしAとBが正方行列の場合にはA・B=E⇒B・A=Eです

今は逆行列という概念がない時代だとすると
Bの余因子行列を|B|(≠0は明らか)で割ったものをB’としたとき
B・B’=Eとなるから
A・B=Eの両辺に右からBをかけ左からB’をかけると
B・A・B・B’=B・E・B’
よって
B・A=E
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 問題の前提についてですが、


  ・ E は n 次単位行列である。
  ・ A, B は n 次正方行列である。
  ・ A, B の可逆性は仮定しない。
ですか?
 とすると、これは見かけより難しい(手間がかかる)問題です。
 私の手持ちの本では、
   齋藤正彦著「線型代数入門」東京大学出版会 ISBN4-13-062001-0
の P48 に、次のような定理が載っていますので、この系になるでしょう。
「 n 次正方行列 A に対し、XA = E となる n 次行列 X が存在すれば A は正則である。AX = E となる X の存在を仮定しても同様である。」
 証明は行列の基本変形を利用しています。

  #4 さんの証明は間違いだと思いますので、指摘させていただきます。
  AX = A より X が単位元だといっておられますが、ある1つの A だけで AX = A が成り立っていても X が単位元とは言えないのではないでしょうか?例えば、A と X を (1,1) 成分だけが 1 で他は 0 の正方行列とすると、 AX = A ですから。
 単位元 E の定義は、<全ての> A にたいして AE = EA = A が成り立つことだったと思います。
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群論がわかっていれば、比較的簡単に証明できます。


結合法則と単位元の一意性を使います。

A=EA=(AB)A=A(BA)   ・・・(1)

よりBA=Eがわかります。 ・・・(2)

(1)の説明
・最初の等号は単位元(単位行列)の性質から
・2番目の等号はAB=Eより
・3番目の等号は結合法則より
(2)の説明
・単位元の一意性より(掛けても同じになるのは単位行列だけ)
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Eは単位行列ですよね?


だとすると、det(AB)=det(E)=1より、detA≠0で、
A^-1が存在し、AB=E ⇒B=A^-1E
           ⇒B=A^-1E=A^-1
           ⇒BA=E(Q.E.D.)
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交換法則ですね。


行列は確か交換法則が成り立たなかったと覚えて
ます。参考URLにも書いてます。

参考URL:http://www.geocities.co.jp/HiTeens-Penguin/1552/ …
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