すみません、A, Bを正方行列としてください。また、Eを同じサイズの単位行列としてください。
この時
AB=E かつBA!=E
を満たす正方行列A, Bの組は存在しますか?
つまり、片方向のかけ算しか、積が単位行列にならないので、逆行列ではないけども、その方向のかけ算に限定して、積が単位行列になるようなB(A)がA(B)に対して存在することはありますか?
また、別の話なのですが、零因子という関係は、片方が行列、もう一方がベクトルの場合に限定した用語なのでしょうか?
ともに0ではない、二つの行列A, Bの積が0になる場合も、同様に零因子と呼ぶのでしょうか?仮にそうだとすると、積AB、BAがともに定義できたとして、片方が0であっても、もう一方が0とは限らないので、零因子というのは、順番も絡んでくるということになりますか?
A!=0 かつ B!=0として
① AB=0 かつ BA!=0
この時は、ABの順で互いに0因子
② AB=BA=0
この時は、双方向で0因子になる
このように捉えるのでしょうか?
No.1
- 回答日時:
上: そんなものはない. AB=E なら必ず BA=E.
下: ふつう行列に関して「零因子」というならベクトルは出てこないんじゃないかなぁ. なお用語としては「左零因子」「右零因子」というのがあって
・AB=O となる B≠O が存在すれば A は左零因子
・BA=O となる B≠O が存在すれば A は右零因子
・A が左零因子かつ右零因子なら単に「A は零因子」
というんだけども行列ではすべて同じことを意味する (ただし AB=O である B と BA=O である B は違うかもしれない).
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
前半:
一般の掛け算(モノイド)においては、
AB = XA = E となる X が存在するならば X = B であることが言えます。
証明は、あなたが補足に書いたとおりです。
ただし、「X が存在するならば」という仮定が必須なので、
AB = E であれば BA = E であるとまでは言えません。
話を行列に限ると、
AB = E となる B が存在する ⇔ Aの行列式が≠0 ⇔ XA = E となる X が存在する
が成立するので、 AB = E ⇒ BA = E と言ってよくなるわけです。
これはモノイドの中でも行列の乗法に固有の事情です。
後半:
前半に「モノイド」という意味有りげな用語が登場しましたが、
後半のお題である「零因子」も本来は
一般の足し算と掛け算(環)において定義される概念です。
同じ次数の正方行列の集合は、足し算と掛け算が定義されて環となるのですが、
掛け算が定義されるだけの条件で集合を全部集めてしまうと
足し算が定義されないために環になりません。
だから、零因子を考えるときに非正方行列を考えてもしかたがないんです。
この辺の話は、「環」が何かを知らずに行列だけで考えていても
ピンとこないのは当然ですが... ま、高校教程のバランスが悪いってことで。
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AB=E
のとき、両者辺に右からAをかけると
ABA=A
さらに左からBをかけると
BABA=AB
これは
BEA=Eなので、BA=EもAB=Eから出てきますね。
ということは、逆行列の定義は、AB=EかつBA=Eではなく、どちらか片方でよいのでしょうか?(もう一方は、上のように導出可能なので、片方に含まれている)
すみません。0因子の質問勘違いしてました。
零因子は、行列と行列の関係でしたね。
質問を改めさせてください。 この時、二つの行列をA, Bとすると、AB=0となるのは、積が定義できる場合、正方行列とは限りませんよね?
正方行列でない場合は、片側の積しかそもそも定義できないので、片側因子にしかなり得ないということでしょうか?
(正方の場合は、両方になりえるが、必ずなるとももちろん限らないですね)
続き
Aが0でない行列、xがベクトルの場合、
Ax=0は、連立一次方程式そのものなので、Aが正則のとき、x=0が答えとなりますが、Aが正則ではない場合、x!=0なる解が存在し得る気がします。
この場合、xはAにとっての右側零因子というのでしょうか?
変なこと聞いてすみません。
いつも、本当にありがとうございます。
高校数学、決して簡単とは思いませんが、所詮はそのあとの大きな数学の海の導入ということですね。
ご回答で、理解が深まりました。
重ね重ね、お礼申し上げます。