行列のかけ算

すみません、A, Bを正方行列としてください。また、Eを同じサイズの単位行列としてください。

この時
AB=E かつBA!=E
を満たす正方行列A, Bの組は存在しますか？
つまり、片方向のかけ算しか、積が単位行列にならないので、逆行列ではないけども、その方向のかけ算に限定して、積が単位行列になるようなB(A)がA(B)に対して存在することはありますか？



また、別の話なのですが、零因子という関係は、片方が行列、もう一方がベクトルの場合に限定した用語なのでしょうか？

ともに０ではない、二つの行列A, Bの積が０になる場合も、同様に零因子と呼ぶのでしょうか？仮にそうだとすると、積AB、BAがともに定義できたとして、片方が０であっても、もう一方が０とは限らないので、零因子というのは、順番も絡んでくるということになりますか？
A!=0 かつ　B!=0として
①　AB=0 かつ　BA!=0
この時は、ABの順で互いに０因子
②　AB=BA=0
この時は、双方向で０因子になる

このように捉えるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• AB=E
  のとき、両者辺に右からAをかけると
  
  ABA=A
  さらに左からBをかけると
  BABA=AB
  これは
  BEA=Eなので、BA=EもAB=Eから出てきますね。
  ということは、逆行列の定義は、AB=EかつBA=Eではなく、どちらか片方でよいのでしょうか？（もう一方は、上のように導出可能なので、片方に含まれている）
  
  すみません。０因子の質問勘違いしてました。
  零因子は、行列と行列の関係でしたね。
  
  質問を改めさせてください。　この時、二つの行列をA, Bとすると、AB=0となるのは、積が定義できる場合、正方行列とは限りませんよね？
  正方行列でない場合は、片側の積しかそもそも定義できないので、片側因子にしかなり得ないということでしょうか？
  （正方の場合は、両方になりえるが、必ずなるとももちろん限らないですね）
  
  続き

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/24 19:10

• 

  Aが0でない行列、xがベクトルの場合、
  Ax=0は、連立一次方程式そのものなので、Aが正則のとき、x=0が答えとなりますが、Aが正則ではない場合、x!=0なる解が存在し得る気がします。
  この場合、xはAにとっての右側零因子というのでしょうか？
  
  変なこと聞いてすみません。

    補足日時：2022/06/24 19:14

• いつも、本当にありがとうございます。
  
  高校数学、決して簡単とは思いませんが、所詮はそのあとの大きな数学の海の導入ということですね。
  
  ご回答で、理解が深まりました。
  
  重ね重ね、お礼申し上げます。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/25 09:46

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/24 20:59

前半：

一般の掛け算(モノイド)においては、
AB = XA = E となる X が存在するならば X = B であることが言えます。
証明は、あなたが補足に書いたとおりです。
ただし、「X が存在するならば」という仮定が必須なので、
AB = E であれば BA = E であるとまでは言えません。
話を行列に限ると、
AB = E となる B が存在する ⇔ Aの行列式が≠0 ⇔ XA = E となる X が存在する
が成立するので、 AB = E ⇒ BA = E と言ってよくなるわけです。
これはモノイドの中でも行列の乗法に固有の事情です。

後半：
前半に「モノイド」という意味有りげな用語が登場しましたが、
後半のお題である「零因子」も本来は
一般の足し算と掛け算(環)において定義される概念です。
同じ次数の正方行列の集合は、足し算と掛け算が定義されて環となるのですが、
掛け算が定義されるだけの条件で集合を全部集めてしまうと
足し算が定義されないために環になりません。
だから、零因子を考えるときに非正方行列を考えてもしかたがないんです。
この辺の話は、「環」が何かを知らずに行列だけで考えていても
ピンとこないのは当然ですが...　ま、高校教程のバランスが悪いってことで。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/06/24 18:50

上: そんなものはない. AB=E なら必ず BA=E.

下: ふつう行列に関して「零因子」というならベクトルは出てこないんじゃないかなぁ. なお用語としては「左零因子」「右零因子」というのがあって
・AB＝O となる B≠O が存在すれば A は左零因子
・BA=O となる B≠O が存在すれば A は右零因子
・A が左零因子かつ右零因子なら単に「A は零因子」
というんだけども行列ではすべて同じことを意味する (ただし AB=O である B と BA=O である B は違うかもしれない).