正方形から円への変形

正方形から円へ変形させるといった作業でどういったルールを用いれば変形できると思いますか？

例：正方形を５角、６角、７角…と増やしていけば最終的には限りなく滑らかな円になる。

といった具合です。
ルールは変形途中で変えてはいけないものとします。
思いついたら返答いただければうれしいです。

No.5 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/07/15 23:02

極座標表示 r = (1 - ε) / √( 1 + |sin 2θ| ) + ε√2 ただし 0 ≦ θ ＜ 2π。

ε = 0 の正方形から、ε = 1 の円へ。連続的に変化する。

No.4 回答者： yokkun831 回答日時： 2008/07/14 21:50

ｎ回目のそれぞれが無限回操作になりますが，

（５）凸頂点を頂点とし，向かい合う頂点が中心から距離a/2となる
　正方形を切り取っていく。
逆に，
（６）まず，４辺中央に小正方形を乗せてその頂点が中心からa/√2
　となるようにする。続いて，凹頂点を頂点とし，向かい合う頂点が
　中心から距離a/√2となる正方形を積み上げていく。

No.3 回答者： yokkun831 回答日時： 2008/07/14 21:25

はじめの正方形の１辺をaとします。

（１）１辺の中点をつまんで，中心から距離a/√2まで引き上げる。
　正方形>正８角形>正１６角形…と変形して半径a/√2の円に近づく。
（２）中心から頂点に向かって距離a/2の直線で切っていく。
　正方形>正８角形>正１６角形…と変形して半径a/2の円に近づく。
（３）ｎ回目の変形＝π/2^(n+1)だけ回転した図と元の図形との和
　になるように変形する。正方形>凹凸１６角形>凹凸３２角形…と
　変形して半径a/√2の円に近づく。
（４）ｎ回目の変形＝π/2^(n+1)だけ回転した図と元の図形との
　共通部分になるように変形。結果的に（２）と同じ。

No.2 回答者： incd 回答日時： 2008/07/14 20:55

正多角形の範囲でよいのであれば、重心からの距離を一定に保つように徐々に変形させていくというのはどうですか？

作図するには、まず重心（兼中心）Gを定めて、Gを中心として円を描きます。そして、中心角を3等分（120度ずつ）に分けるような半径を描き、その半径と円周の交点を結ぶと正三角形になります。
次に中心角を４等分するようにして同じことをやると正方形に、5等分すれば正五角形です。
この繰り返しの行き着く先（つまり極限）は円です。

No.1 回答者： proto 回答日時： 2008/07/14 13:10

条件が与えられていなければあらゆる変形が考えられますよ。

極端な話、正方形と円をひとつずつ描いて、コレがコレになりました、と云えば終わりです。

「面積を変えないような変形」「定木とコンパスで作図可能な変形」「周長を変えないような変形」
などの条件がつけば、そのような方法は限られて来るでしょうね。

この回答への補足

早速の回答ありがとうございます。
「面積を変えない」や「周長を変えない」といった条件はありませんが
正方形に、ある一定の変化を与え続けて円にするというのが唯一の条件ではあります。

補足日時：2008/07/14 13:53