単関数のルベーグ積分でC⊂Dならば∫_Cfdm≦∫_Dfdm?

なかなか定義が明記されてなくて難儀しております。
mは測度のことと思われます。

(単関数の積分)
[問]f,gは非負の値を採る単関数,C,D∈Bとする時,次が成立する。
(1) C∩D=φならば∫_(C∪D) fdm=∫_Cfdm+∫_Dfdm
(2) C⊂Dならば∫_Cfdm≦∫_Dfdm
[(1)の証]
∫_(C∪D) fdm=a・m(C∪D) (a∈R) (∵ルベーグ積分の定義)
=a(m(C)+m(D)) (∵測度空間の定義)
=a・m(C)+a・m(D)
=∫_Cfdm+∫_Dfdm (∵ルベーグ積分の定義)
[(2)の証]
∫_Cfdm=a・m(C) (∵ルベーグ積分の定義)
ここから
≦a・m(D)が言えません。

どのようにして言えますでしょうか?

No.2 ベストアンサー 回答者： kuwaman091 回答日時： 2008/07/15 22:32

No1さんの言う通りですね。

詳しく説明すると
D=C∪(D＼C)と表すことができ

C∩(D＼C)=φ
よって
∫_{D}f dm=∫_{C∪(D＼C)}f dm=∫_{C}f dm+∫_(D＼C)f dm
≧∫_{C}f dm
てな感じですね。ルベーグ積分のスタートですね。頑張って下さい。

この回答へのお礼

有難うございます。
簡単なのですね。
お陰様で納得できました。

お礼日時：2008/07/16 00:42

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/07/15 07:48

D = C ∪ (D＼C)

この回答へのお礼

有難うございます。
簡単なのですね。
お陰様で納得できました。

お礼日時：2008/07/16 00:43