お世話になります。
複素数α1,β1,γ1 と,複素数α2,β2,γ2 で表わされる三角形が正の向きに相似(裏返しは除く)であるための必要十分条件は,行列式を用いた次式で表わされます.
|1 α1 α2|
|1 β1 β2|=0
|1 γ1 γ2|
これは、行列式が0ということは縦ベクトルが線型従属なので、複素数z1,z2を用いて、
(α1,β1,γ1)=z1(α2,β2,γ2)+z2(1,1,1)
と同値なので、三角形(α2,β2,γ2)を回転・拡大し、平行移動したものが、三角形(α1,β1,γ1)になることを意味しているので、理解できます。
次に、複素数α1,β1,γ1 と,複素数α2,β2,γ2 で表わされる三角形が正の向きに合同(裏返しは除く)であるための必要十分条件を,行列式(もしくは簡単な等式)を用いて表したいのですが、いい方法がありましたらどうか教えてください。
参考http://hooktail.maxwell.jp/kagi/c153866f077ba143 …
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんは。
#2です。
いろいろ訂正します。すみません。
◎「行列式=0」は2つで必要十分です。
・・・・・途中略・・・
・・・・
逆に(3)のとき、
角B'A'C'=arg(γ2-α2)/(β2-α2)=arg(γ1-α1)/(β1-α1)=角BAC
ゆえに (1)かつ(2) ⇔ (3)
よって、(γ1-α1)(β2-α2)-(γ2-α2)(β1-α1)=0が必要十分で
(3)は次と同値
|1 0 0 |
|1 β1-α1 β2-α2|=0
|1 γ1-α1 γ2-α2|
1列目にα1を掛けて2列目に加え、1列目にα2を掛けて3列目に加えて
⇔
|1 α1 α2|
|1 β1 β2|=0 ・・・(4)が必要十分。これが(高校や)
|1 γ1 γ2|
「複素関数論」の最初に習うところ。
・・・・・途中略
・・・
◎以下 γ2の複素共役をγ2^(-)などで表すことにする。
よって △ABCと△A'B'C'が合同
⇔ (γ2-α2)/(γ1-α1)=(β2-α2)/(β1-α1)・・・(*)
かつ |γ2-α2|=|γ1-α1| ・・・(6)だけでよい。
( なぜなら、(*)すなわち(4)は△A'B'C'と△ABCが正の向きに相似と
を意味し、(6)はA'C'=AC ということで「相似比=1」を意味するから)
⇔
|1 α1 α2|
|1 β1 β2|=0・・・(4)
|1 γ1 γ2|
かつ 例えば|γ2-α2|=|γ1-α1|・・・(6)
・・・・・途中略
・・・・
(6)は|γ2-α2|=|γ1-α1|を平方して
(γ2-α2)(γ2^(-)-α2^(-))=(γ1-α1)(γ1^(-)-α1^(-))・・・(#)
これを「行列式=0の形」にして
|1 0 0 |
|1 γ2^(-)-α2^(-) γ1-α1 |=0
|1 γ1^(-)-α1^(-) γ2-α2 |
⇔
|1 α1^(-)+α2^(-) α1+α2 |
|1 γ2^(-)+α1^(-) γ1+α2 |=0 ・・・(7)
|1 γ1^(-)+α2^(-) γ2+α1 |
となり、(4)かつ(7)の二つの「行列式=0」
となるが、 (7)はあまりきれいな式ではない。
なお、
(6)を|α2-γ2|=|α1-γ1|とすれば、
|1 γ1^(-)+γ2^(-) γ1+γ2 |
|1 α2^(-)+γ1^(-) α1+γ2 |=0 ・・・(7')
|1 α1^(-)+γ2^(-) α2+γ1 |
とかける。
◎ ゆえに、求める必要十分条件は
|1 α1 α2|
|1 β1 β2|=0・・・(4) かつ 例えば
|1 γ1 γ2|
|1 α1^(-)+α2^(-) α1+α2 |
|1 γ2^(-)+α1^(-) γ1+α2 |=0 ・・・(7)
|1 γ1^(-)+α2^(-) γ2+α1 |
などとなります。すみませんでした
ありがとうございます。
合同というのを、3辺が等しい、つまり、
|α1-β1|=|α2-β2|
|β1-γ1|=|β2-γ2|
|γ1-α1|=|γ2-α2|
とみると、これを対称的にきれいに(できれば一つの式で)まとめるにはどうすればいいでしょうか?
No.2
- 回答日時:
こんばんは。
>複素数α1,β1,γ1 と,複素数α2,β2,γ2 で表わされる三角形が正の向きに相似(裏返しは除く)
A(α1),B(β1,),C(γ1)とA'(α2),B'(β2),C'(γ2)が相似
複素数平面で、適当な角θと正の数rがあって、
γ2-α2=re^(iθ)(γ1-α1) ・・・(1) かつ
β2-α2=re^(iθ)(β1-α1) ・・・(2) となること。このとき、
(1)÷(2) →(γ2-α2)/(β2-α2)=(γ1-α1)/(β1-α1)・・・(3)
逆に(3)のとき、角BAC=arg(γ2-α2)/(β2-α2)=arg(γ1-α1)/(β1-α1)=角B'A'C'
よって (1)かつ(2) ⇔ (3)
よって、(γ1-α1)/(β2-α2)-(γ2-α2)/(β1-α1)=0が必要で十分で(3)は次と同値
|1 0 0|
|1 β1-α1 β2-α2|=0
|1 γ1-α1 γ2-α2|
1列目にα1を掛けて2列目に加え、1列目にα2をかかけて3列目に加えて
⇔
|1 α1 α2|
|1 β1 β2|=0 ・・・(4)が必要十分。これが(高校や)「複素関数論」のところでならうもの。
|1 γ1 γ2|
ゆえに「合同条件」は、(1)(2)でr=1ということだから、同様にして
|1 α1 α2|
|1 β1 β2|=0 ・・・(4) ( と (1)(2)から )
|1 γ1 γ2|
かつ (γ2-α2)/(γ1-α1)=(β2-α2)/(β1-α1)=e^(iθ) ・・・(5)
このとき |γ2-α2|=|γ1-α1|,かつ|β2-α2|=|β1-α1| ・・・(6)となる。
◎以下 γ2の複素共役をγ2^(-) で表すことにする。
よって △ABCと△A'B'C'が合同
⇔ (γ2-α2)/(γ1-α1)=(β2-α2)/(β1-α1)かつ
|γ2-α2|=|γ1-α1|,かつ|β2-α2|=|β1-α1| ・・・(6)
⇔
|1 α1 α2|
|1 β1 β2|=0・・・(4) かつ |γ2-α2|=|γ1-α1|,かつ|β2-α2|=|β1-α1|・・・(6)
|1 γ1 γ2|
(何故なら 2辺挟角等しくて合同)
(6)は|γ2-α2|=|γ1-α1|を平方して(γ2-α2)(γ2^(-)-α2^(-))=(γ1-α1)(γ1^(-)-α1^(-))
これを行列にして
|1 0 0 |
|1 γ2^(-)-α2^(-) γ1-α1 |=0
|1 γ1^(-)-α1^(-) γ2-α2 | |
⇔
|1 α1^(-)+α2^(-) α1+α2 |
|1 γ2^(-)+α1^(-) γ1+α2 |=0 ・・・(7)
|1 γ1^(-)+α2^(-) γ2+α1 |
|β2-α2|=|β1-α1|から 同様に
|1 α1^(-)+α2^(-) α1+α2 |
|1 β2^(-)+α1^(-) β1+α2 |=0 ・・・(8)
|1 β1^(-)+α2^(-) β2+α1 |
となり、
(4)かつ(7)かつ(8) の3つの行列式=0
となるが (7)(8)は美しさはありません。
計算間違っていたらすみません。
No.1
- 回答日時:
行列式ではかけません。
なぜなら行列式はベクトルの方向だけしか考慮しないからです。|a1 x*b1 c1| |a1 b1 x*c1|
|a2 x*b2 c2| = |a2 b2 x*c2|
|a3 x*b3 c3| |a3 b3 x*c3|
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