不等式について

高校生のものです。
aを2以上の整数とする。
m>n≧1である自然数m,nに対し,
a^n/(a+1)<x<a^m/(a+1)
を満たす整数xの個数がaで割り切れる必要十分条件はm-nが偶数であることを示せ。という問題がありました。
ずっと考えていたのですが、方針がなかなか立ちません。
まず十分条件を示すことにしました。
xの個数がわからないので個数をk(自然数)とでもおいてやっていくのかな？とでも思ったのですがうまくいきません。
どうやったらいいでしょうか？

No.5 回答者： reiman 回答日時： 2008/08/13 17:15

書き漏らしがありましたので修正します。

ａと（ａ＋１）は互いに素。
よって
ａ＾ｎ／（ａ＋１）もａ＾ｍ／（ａ＋１）も整数ではない。
Ｎ＝ａ＾ｍ／（ａ＋１）－ａ＾ｎ／（ａ＋１）
＝ａ＾ｎ（ａ＾（ｍ－ｎ）－１）／（ａ＋１）
とおく。

（１）ｍ－ｎが偶数のとき
（ａ＾（ｍ－ｎ）－１）は（ａ＋１）で割り切れ
Ｎは自然数となり与条件を満たすｘの個数である。
よって与条件を満たすｘの個数はａで割り切れる。

（２）ｍ－ｎが奇数のとき
ａ＾ｎも（ａ＾（ｍ－ｎ）－１）も（ａ＋１）で割り切れず
Ｎは整数でない。

（２－１）ｎが奇数のとき
Ｎ－２／（ａ＋１）またはＮ－２／（ａ＋１）＋１が与条件を満たすｘの個数である。

（２－２）ｎが偶数のとき
Ｎ＋２／（ａ＋１）またはＮ＋２／（ａ＋１）－１が与条件を満たすｘの個数である。

いずれにしても与条件を満たすｘの個数はａで割り切れない。

No.4 回答者： reiman 回答日時： 2008/08/13 16:00

ａと（ａ＋１）は互いに素。

よって
ａ＾ｎ／（ａ＋１）もａ＾ｍ／（ａ＋１）も整数ではない。
Ｎ＝ａ＾ｍ／（ａ＋１）－ａ＾ｎ／（ａ＋１）
＝ａ＾ｎ（ａ＾（ｍ－ｎ）－１）／（ａ＋１）

（１）ｍ－ｎが偶数のとき
（ａ＾（ｍ－ｎ）－１）は（ａ＋１）で割り切れ
Ｎは自然数となり与条件を満たすｘの個数である。
よってＮはａで割り切れる。

（２）ｍ－ｎが奇数のとき
ａ＾ｎも（ａ＾（ｍ－ｎ）－１）も（ａ＋１）で割り切れず
Ｎは整数でない。
（２－１）ｎが奇数のとき
Ｎー２／（ａ＋１）が与条件を満たすｘの個数である。
（２－２）ｎが偶数のとき
Ｎ＋２／（ａ＋１）またはＮ＋２／（ａ＋１）－１が与条件を満たすｘの個数である。
いずれにしてもその個数はａで割り切れない。

No.3 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2008/08/13 14:55

わかるとは思いますが、＃１はちょっと間違ってました。

正解は、n が奇数なら
a^n/(a+1) = a^(n-1) - a^(n-2) + a^(n-3) - a^(n-4) + … - a + 1 - 1/(a+1)
n が偶数なら、
a^n/(a+1) = a^(n-1) - a^(n-2) + a^(n-3) - a^(n-4) + … + a - 1 + 1/(a+1)
という形に書けます。

というわけで問題になるのは、
+ 1 - 1/(a+1)
か、
- 1 + 1/(a+1)
という部分ですね。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/08/13 14:54

思い付きだけど, n ≧ 1 のときに a^n/(a+1) < x < a^(n+1)/(a+1) や a^n/(a+1) < x

< a^(n+2)/(a+1) となる x の個数が a の倍数になるかどうかを考えればなんとかなるような気もする.

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2008/08/13 14:48

全く、方針が立たないなら、いくつか具体的な数を入れて試してみると、問題の構造が見えてくるかもしれません。

a^n/(a+1) = a^(n-1)*a/(a+1) = a^(n-1)*{1 - 1/(a+1)} = a^(n-1) - a^(n-1)/(a+1)
ですから、これを何度も適用すれば、
n が奇数なら
a^n/(a+1) = a^(n-1) - a^(n-2) + a^(n-3) - a^(n-4) + … + a - 1/(a+1)
n が偶数なら、
a^n/(a+1) = a^(n-1) - a^(n-2) + a^(n-3) - a^(n-4) + … - a + 1/(a+1)
という形に書けます。（こういう表示の仕方をテイラー展開と呼んだりします）

で、
a^(n-1) - a^(n-2) + a^(n-3) - a^(n-4) + … + a
とか、
a^(n-1) - a^(n-2) + a^(n-3) - a^(n-4) + … - a
の部分は、整数かつaの倍数ですから、

a^n/(a+1) < x < a^m/(a+1)
のx の個数がaの倍数かどうかを求めるときに問題になるのは、
-1/(a+1) または +1/(a+1)
の部分だけですね。