利用規約の変更について

高校生のものです。
aを2以上の整数とする。
m>n≧1である自然数m,nに対し,
a^n/(a+1)<x<a^m/(a+1)
を満たす整数xの個数がaで割り切れる必要十分条件はm-nが偶数であることを示せ。という問題がありました。
ずっと考えていたのですが、方針がなかなか立ちません。
まず十分条件を示すことにしました。
xの個数がわからないので個数をk(自然数)とでもおいてやっていくのかな?とでも思ったのですがうまくいきません。
どうやったらいいでしょうか?

A 回答 (5件)

書き漏らしがありましたので修正します。



aと(a+1)は互いに素。
よって
a^n/(a+1)もa^m/(a+1)も整数ではない。
N=a^m/(a+1)-a^n/(a+1)
=a^n(a^(m-n)-1)/(a+1)
とおく。

(1)m-nが偶数のとき
(a^(m-n)-1)は(a+1)で割り切れ
Nは自然数となり与条件を満たすxの個数である。
よって与条件を満たすxの個数はaで割り切れる。

(2)m-nが奇数のとき
a^nも(a^(m-n)-1)も(a+1)で割り切れず
Nは整数でない。

(2-1)nが奇数のとき
N-2/(a+1)またはN-2/(a+1)+1が与条件を満たすxの個数である。

(2-2)nが偶数のとき
N+2/(a+1)またはN+2/(a+1)-1が与条件を満たすxの個数である。

いずれにしても与条件を満たすxの個数はaで割り切れない。
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aと(a+1)は互いに素。


よって
a^n/(a+1)もa^m/(a+1)も整数ではない。
N=a^m/(a+1)-a^n/(a+1)
=a^n(a^(m-n)-1)/(a+1)

(1)m-nが偶数のとき
(a^(m-n)-1)は(a+1)で割り切れ
Nは自然数となり与条件を満たすxの個数である。
よってNはaで割り切れる。

(2)m-nが奇数のとき
a^nも(a^(m-n)-1)も(a+1)で割り切れず
Nは整数でない。
(2-1)nが奇数のとき
Nー2/(a+1)が与条件を満たすxの個数である。
(2-2)nが偶数のとき
N+2/(a+1)またはN+2/(a+1)-1が与条件を満たすxの個数である。
いずれにしてもその個数はaで割り切れない。
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わかるとは思いますが、#1はちょっと間違ってました。



正解は、n が奇数なら
a^n/(a+1) = a^(n-1) - a^(n-2) + a^(n-3) - a^(n-4) + … - a + 1 - 1/(a+1)
n が偶数なら、
a^n/(a+1) = a^(n-1) - a^(n-2) + a^(n-3) - a^(n-4) + … + a - 1 + 1/(a+1)
という形に書けます。

というわけで問題になるのは、
+ 1 - 1/(a+1)
か、
- 1 + 1/(a+1)
という部分ですね。
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思い付きだけど, n ≧ 1 のときに a^n/(a+1) < x < a^(n+1)/(a+1) や a^n/(a+1) < x

< a^(n+2)/(a+1) となる x の個数が a の倍数になるかどうかを考えればなんとかなるような気もする.
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全く、方針が立たないなら、いくつか具体的な数を入れて試してみると、問題の構造が見えてくるかもしれません。



a^n/(a+1) = a^(n-1)*a/(a+1) = a^(n-1)*{1 - 1/(a+1)} = a^(n-1) - a^(n-1)/(a+1)
ですから、これを何度も適用すれば、
n が奇数なら
a^n/(a+1) = a^(n-1) - a^(n-2) + a^(n-3) - a^(n-4) + … + a - 1/(a+1)
n が偶数なら、
a^n/(a+1) = a^(n-1) - a^(n-2) + a^(n-3) - a^(n-4) + … - a + 1/(a+1)
という形に書けます。(こういう表示の仕方をテイラー展開と呼んだりします)

で、
a^(n-1) - a^(n-2) + a^(n-3) - a^(n-4) + … + a
とか、
a^(n-1) - a^(n-2) + a^(n-3) - a^(n-4) + … - a
の部分は、整数かつaの倍数ですから、

a^n/(a+1) < x < a^m/(a+1)
のx の個数がaの倍数かどうかを求めるときに問題になるのは、
-1/(a+1) または +1/(a+1)
の部分だけですね。
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