縮退行列のときのジョルダン形式への変換

(2 -1 1)
(1 0 1)
(0 0 1)
この行列をジョルダン形式に変換したいのですが、固有ベクトルをうまく置くことができず、求めることができません。
本を見ると、この問題の場合、縮退行列となり各ジョルダンブロックの次数や変換行列を試行錯誤的に求めることができると、書いてあるのですがさっぱりわかりません。
誰かご教授お願いします。

No.7 ベストアンサー 回答者： reiman 回答日時： 2008/08/19 07:47

久々に見てみると文脈からわかるケアレスミス以外に凡ミスが見つかったので修正します。

正方行列Ａのジョルダン標準形化手順

１）
行列Ａの次数、固有値すべて、固有値の重複度すべてを求める。

＜今回の場合＞
行列次数：ｎ＝３
固有値：s＝１（重複度３）

２）
ジョルダン標準形Ｊを求める。
ジョルダン標準形においてジョルダンセルを固有値ごとに並べる。
同一固有値に対するジョルダンセルは次数の大きい順に並べる。
固有値ｓに対するジョルダンセルを求めるには
ｒ［ｋ］＝ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾ｋ）（k:０以上の整数）
としたときに
ｑ［ｍ］＝ｒ［ｍ－１］－ｒ［ｍ］
がｍ次以上のジョルダンセルの数であることを使う。
これは次の式から簡単に導かれるので覚える必要はない。
ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾k）＝ｒａｎｋ（（Ｊ－ｓＥ）＾k）

＜今回の場合＞
固有値ｓは１であり一つ
ｓ＝１
ｒ［０］＝３
ｒ［１］＝１
ｒ［２］＝０（これは求める必要は実はない）
ｒ［３］＝０（これは求める必要は実はない）
よって
１次以上のジョルダンセルの数＝ジョルダンセルの数＝ｑ［１］＝ｒ［０］－ｒ［１］＝３－１＝２
２次以上のジョルダンセルの数＝ｑ［２］＝ｒ［１］－ｒ［２］＝１－０＝１
３次以上のジョルダンセルの数＝ｑ［３］＝ｒ［２］－ｒ［３］＝０－０＝０
よって
１次のジョルダンセルの数＝ｑ［１］－ｑ［２］＝２ー１＝１
２次のジョルダンセルの数＝ｑ［２］－ｑ［３］＝１－０＝１
よってジョルダン標準形は
Ｊ＝
（１　１　０）
（０　１　０）
（０　０　１）
なお、今回の場合はこのように杓子定規にしなくても
ジョルダンセルの数ｑ［１］のみからジョルダン標準形が分かる。

３）
ジョルダン標準形化ベクトルを構成する列ベクトルのうち
固有値ｓかつＮ次ジョルダンセルに対するものを求める。
並びの順にその構成要素を求めるので同一固有値においては
次数の大きいジョルダンセルの順にその構成要素を求める。
（Ａ－ｓＥ）＾Ｎｘ［Ｎ］＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］≠０
なるｎ次元列ベクトルｘ［Ｎ］を求める。
そして
ｘ［ｋ－１］＝（Ａ－ｓＥ）ｘ［ｋ］　（ｋ＝Ｎ，Ｎ－１，Ｎ－２，・・・，２）
とおく。
ｘ［１］，ｘ［２］，・・・，ｘ［Ｎ］　（並び順に注意）
がその変換行列を構成する列ベクトルである。
このうちｘ［１］のみが固有値ｓの固有ベクトルである。
既に固有値ｓの固有ベクトル
ｘ’［１］，ｘ”［１］，・・・
が決定されている場合にはｘ［Ｎ］は
ｘ［１］＝（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］　，ｘ’［１］，ｘ”［１］，・・・
が互いに一次独立であるように決める。

＜今回の場合＞
２次のジョルダンセルに対する変換行列の構成要素ベクトルの作成（Ｎ＝２）：
（Ａ－Ｅ）＾２＝０となるので
（Ａ－Ｅ）ｖ≠０である任意ベクトルｖを決め
ｕ＝（Ａ－Ｅ）ｖ
とおくと
ｕ，ｖが変換行列の成分となる。
このとき（Ａ－Ｅ）ｕ＝０となりｕは固有ベクトルである。
なお、ｖはｘ［２］に対応しｕはｘ［１］に対応する。
１次のジョルダンセルに対する変換行列の構成要素ベクトルの作成（Ｎ＝１）：
すでに固有値１の固有ベクトルｕが求まっているので
ｕ＝（Ａ－Ｅ）ｖ　，ｗ
が互いに一次独立であり
（Ａ－Ｅ）ｗ＝０かつ（Ａ－Ｅ）＾０ｗ＝ｗ≠０
となるベクトルｗを任意に決める。
このときｗは固有ベクトルである。
なおｗはｘ［１］に対応する

４）
すべての固有値、各固有値のすべてのジョルダンセルについて
求めた変換行列の成分を順番に並べて変換行列を構成し終了する。

今回の場合：
（Ａ－Ｅ）ｕ＝０
（Ａ－Ｅ）ｖ＝ｕ
（Ａ－Ｅ）ｗ＝０
つまり
Ａｕ＝ｕ
Ａｖ＝ｕ＋ｖ
Ａｗ＝ｗ
つまり
Ａ　（ｕ　ｖ　ｗ）＝（ｕ　ｖ　ｗ）　Ｊ
つまり
（ｕ　ｖ　ｗ）＾－１　Ａ　（ｕ　ｖ　ｗ）＝Ｊ

No.6 回答者： reiman 回答日時： 2008/08/17 12:19

より正確な正方行列Ａのジョルダン標準形化手順

１）
行列Ａの次数、固有値すべて、固有値の重複度すべてを求める。

＜今回の場合＞
行列次数：ｎ＝３
固有値：s＝１（重複度３）

２）
ジョルダン標準形Ｊを求める。
ジョルダン標準形においてジョルダンセルを固有値ごとに並べる。
同一固有値に対するジョルダンセルは次数の大きい順に並べる。
固有値ｓに対するジョルダンセルを求めるには
ｒ［ｋ］＝ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾ｋ）（k:０以上の整数）
としたときに
ｒ［ｍ－１］－ｒ［ｍ］
がｍ次以上のジョルダンセルの数であることを使う。
これは次の式から簡単に導かれるので覚える必要はない。
ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾k）＝ｒａｎｋ（（Ｊ－ｓＥ）＾k）

＜今回の場合＞
固有値ｓは一つ
ｒ［０］＝３
ｒ［１］＝１
ｒ［２］＝０（これは求める必要は実はない）
ｒ［３］＝０（これは求める必要は実はない）
よって
１次以上のジョルダンセルの数＝ジョルダンセルの数＝３－１＝２
２次以上のジョルダンセルの数＝１－０＝１
３次以上のジョルダンセルの数＝０－０＝０
よって
１次のジョルダンセルの数＝２ー１＝１
２次のジョルダンセルの数＝１－０＝１
よってジョルダン標準形は
Ｊ＝
（ｓ　１　０）
（０　ｓ　０）
（０　０　ｓ）
なお、今回の場合ジョルダンセルの数が分かればジョルダン標準形は分かる。

３）
ジョルダン標準形化ベクトルを構成する列ベクトルのうち
固有値ｓかつＮ次ジョルダンセルに対するものを求める。
並びの順にその構成要素を求めるので同一固有値においては
次数の大きいジョルダンセルの順にその構成要素を求める。
（Ａ－ｓＥ）＾Ｎｘ［Ｎ］＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］≠０
なるｎ次元列ベクトルｘ［Ｎ］を求める。
そして
ｘ［ｋ－１］＝（Ａ－ｓＥ）ｘ［ｋ］　（ｋ＝Ｎ，Ｎ－１，Ｎ－２，・・・，２）
とおく。
ｘ［１］，ｘ［２］，・・・，ｘ［Ｎ］
がその変換行列を構成する列ベクトルである。
ここでｘ［Ｎ］を起点となるベクトル（ｒｅｉｍａｎ造語）と呼ぶ。
同一固有値において
既に起点となる固有値ｙ［Ｍ］が決定されている場合には
ｘ［Ｎ］は（Ａ－ｓＥ）＾（Ｍ－Ｎ）ｙ［Ｍ］と一次独立であるように決める。

＜今回の場合＞
２次のジョルダンセルに対する変換行列の構成要素ベクトルの作成（Ｎ＝２）：
（Ａ－ｓＥ）＾２＝０となるので
（Ａ－ｓＥ）ｖが０でないような任意ベクトルｖを決め
ｕ＝（Ａ－ｓＥ）ｖ
とおくと
ｕ，ｖが変換行列の成分となる。
このとき（Ａ－ｓＥ）ｕ＝０となりｕは固有ベクトルである。
１次のジョルダンセルに対する変換行列の構成要素ベクトルの作成（Ｎ＝１）：
起点となるベクトルｖが既に求まっているので
ｕ＝（Ａ－ｓＥ）＾（２ー１）ｖ＝（Ａ－ｓＥ）ｖと一次独立であり
（Ａ－ｓＥ）ｗ＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾０ｗ＝ｗ≠０
となるベクトルｗを任意に決める。
このときｗは固有ベクトルであるが、
固有値ｓの固有ベクトル空間は２次元なのでｗを決めることは可能である。

４）
すべての固有値、各固有値のすべてのジョルダンセルについて
求めた変換行列の成分を並べて変換行列を作成し終了する。

今回の場合：
（Ａ－ｓＥ）ｕ＝０
（Ａ－ｓＥ）ｖ＝ｕ
（Ａ－ｓＥ）ｗ＝０
つまり
Ａｕ＝ｓｕ
Ａｖ＝ｕ＋ｓｖ
Ａｗ＝ｓｗ
つまり
Ａ［ｕ　ｖ　ｗ］＝［ｕ　ｖ　ｗ］Ｊ
つまり
［ｕ　ｖ　ｗ］＾－１Ａ［ｕ　ｖ　ｗ］＝Ｊ

No.5 回答者： reiman 回答日時： 2008/08/17 06:56

ケアレスミスがあり修正します。

正方行列Ａのジョルダン標準形化手順

１）
行列Ａの次数、固有値すべて、固有値の重複度すべてを求める。

＜今回の場合＞
行列次数：ｎ＝３
固有値：s＝１（重複度３）

２）
ジョルダン標準形Ｊを求める。
ジョルダン標準形においてジョルダンセルを固有値ごとに並べる。
同一固有値に対するジョルダンセルは次数の大きい順に並べる。
固有値ｓに対するジョルダンセルを求めるには
ｒ［ｋ］＝ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾ｋ）（k:０以上の整数）
としたときに
ｒ［ｍ－１］－ｒ［ｍ］
がｍ次以上のジョルダンセルの数であることを使う。
これは次の式から簡単に導かれるので覚える必要はない。
ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾k）＝ｒａｎｋ（（Ｊ－ｓＥ）＾k）

＜今回の場合＞
固有値ｓは一つ
ｒ［０］＝３
ｒ［１］＝１
ｒ［２］＝０（これは求める必要は実はない）
ｒ［３］＝０（これは求める必要は実はない）
よって
１次以上のジョルダンセルの数＝ジョルダンセルの数＝３－１＝２
２次以上のジョルダンセルの数＝１－０＝１
３次以上のジョルダンセルの数＝０－０＝０
よって
１次のジョルダンセルの数＝２ー１＝１
２次のジョルダンセルの数＝１－０＝１
よってジョルダン標準形は
Ｊ＝
（ｓ　１　０）
（０　ｓ　０）
（０　０　ｓ）
なお、今回の場合ジョルダンセルの数が分かればジョルダン標準形は分かる。

３）
ジョルダン標準形化ベクトルを構成する列ベクトルのうち
固有値ｓかつＮ次ジョルダンセルに対するものを求める。
（Ａ－ｓＥ）＾Ｎｘ［Ｎ］＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］≠０
なるｎ次元列ベクトルｘ［Ｎ］を求める。
そして
ｘ［ｋ－１］＝（Ａ－ｓＥ）ｘ［ｋ］　（ｋ＝Ｎ，Ｎ－１，Ｎ－２，・・・，２）
とおく。
ｘ［１］，ｘ［２］，・・・，ｘ［Ｎ］
がその変換行列を構成する列ベクトルである。
そしてｘ［１］は固有値sの固有ベクトルになる。
ここで気をつけることは同一固有値、同一次数のジョルダンセルが２つ以上ある場合であり、
その時には
（Ａ－ｓＥ）＾Ｎｘ［Ｎ］＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］≠０
なるｎ次元列ベクトルｘ［Ｎ］は既に決定したものと独立に与えなければならない。
またＮ＝１の場合には固有ベクトルを決定するだけだが、
その場合には既に求まっている固有ベクトルと一次独立なものを選択する。

＜今回の場合＞
２次のジョルダンセルに対する変換行列成分の作成（Ｎ＝２）：
（Ａ－ｓＥ）＾２＝０となるので
（Ａ－ｓＥ）ｖが０でないような任意ベクトルｖを決め
ｕ＝（Ａ－ｓＥ）ｖ
とおくと
ｕ，ｖが変換行列の成分となる。
このとき（Ａ－ｓＥ）ｕ＝０となりｕは固有ベクトルである。
１次のジョルダンセルに対する変換行列の成分の作成（Ｎ＝１）：
ｕと一次独立な固有ベクトルｗを任意に決める。
固有値ｓの固有ベクトル空間は２次元なのでｗを決めることは可能である。

５）
すべての固有値、各固有値のすべてのジョルダンセルについて
求めた変換行列の成分を並べて変換行列を作成し終了する。

今回の場合：
（Ａ－ｓＥ）ｕ＝０
（Ａ－ｓＥ）ｖ＝ｕ
（Ａ－ｓＥ）ｗ＝０
つまり
Ａｕ＝ｓｕ
Ａｖ＝ｕ＋ｓｖ
Ａｗ＝ｓｗ
つまり
Ａ［ｕ　ｖ　ｗ］＝［ｕ　ｖ　ｗ］Ｊ
つまり
［ｕ　ｖ　ｗ］＾－１Ａ［ｕ　ｖ　ｗ］＝Ｊ

この回答へのお礼

返信遅れてすみません。
ご教授ありがとうございました。

お礼日時：2008/08/26 22:05

No.4 回答者： reiman 回答日時： 2008/08/16 23:05

誤解をまねく表現が合ったので修正します。

正方行列Ａのジョルダン標準形化手順

１）
行列Ａの次数、固有値、固有値の重複度をすべて求める。

今回の場合：
行列次数：ｎ＝３
固有値：s＝１（重複度３）

２）
ジョルダン標準形Ｊを求める。
ジョルダン標準形においてジョルダンセルを固有値ごとに並べる。
同一固有値に対するジョルダンセルは次数の大きい順に並べる。
固有値ｓに対するジョルダンセルを求めるには
ｒ［０］＝ｎ
ｒ［ｋ］＝ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾ｋ）（０＜ｋ）
としたときに
ｒ［ｍ－１］－ｒ［ｍ］
がｍ次以上のジョルダンセルの数であることを使う。
これは次の式から簡単に導かれるので覚える必要はない。
ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾k）＝ｒａｎｋ（（Ｊ－ｓＥ）＾k）

今回の場合：
固有値ｓは一つ
ｒ［０］＝３
ｒ［１］＝１
ｒ［２］＝０（これは求める必要は実はない）
ｒ［３］＝０（これは求める必要は実はない）
よって
１次以上のジョルダンセルの数＝ジョルダンセルの数＝３－１＝２
２次以上のジョルダンセルの数＝１－０＝１
３次以上のジョルダンセルの数＝０－０＝０
よって
１次のジョルダンセルは２ー１＝１
２次のジョルダンセルは１－０＝１
よってジョルダン標準形は
Ｊ＝
（ｓ　１　０）
（０　ｓ　０）
（０　０　ｓ）

３）
ジョルダン標準形化ベクトルを構成する列ベクトルのうち
固有値ｓかつＮ次ジョルダンセルに対するものを求める。
（Ａ－ｓＥ）＾Ｎｘ［Ｎ］＝０
かつ
（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］≠０
なるｎ次元列ベクトルｘ［ｋ］を求める。
そして
ｘ［ｋ－１］＝（Ａ－ｓＥ）ｘ［ｋ］
（ｋ＝Ｎ，Ｎ－１，Ｎ－２，・・・，２）
とおく。
ｘ［１］，ｘ［２］，・・・，ｘ［Ｎ］
がその変換行列を構成する列ベクトルである。
そしてｘ［１］は固有値sの固有ベクトルになる。
ここで気をつけることは同一固有値、同一次数のジョルダンセルが２つ以上ある場合であり、その時には
（Ａ－ｓＥ）＾Ｎｘ［Ｎ］＝０
かつ
（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］≠０
なるｎ次元列ベクトルｘ［Ｎ］は既に求めたものと独立に決定しなければならない。

今回の場合：
２次のジョルダンセルに対する変換行列成分は
（Ａ－ｓＥ）＾２＝０となることは明らかなので
（Ａ－ｓＥ）ｖが０でないような任意ベクトルｖを決め
ｕ＝（Ａ－ｓＥ）ｖ
とおくと
ｕ，ｖが変換行列の成分となる。
このとき
（Ａ－ｓＥ）ｕ＝０となりｕは固有ベクトルである。
１次のジョルダンセルに対する変換行列の成分は
ｕと独立な固有ベクトルｗを任意に決めれば良い。
固有値ｓの固有ベクトル空間は２次元なのでｗを決めることは可能である。

５）
すべての固有値、ジョルダンセルについて求めた変換行列の成分を並べて
変換行列を作成し終了する。

今回の場合：
（Ａ－ｓＥ）ｕ＝０
（Ａ－ｓＥ）ｖ＝ｕ
（Ａ－ｓＥ）ｗ＝０
つまり
Ａｕ＝ｓｕ
Ａｖ＝ｕ＋ｓｖ
Ａｗ＝ｓｗ
つまり
Ａ［ｕ　ｖ　ｗ］＝［ｕ　ｖ　ｗ］Ｊ
となる。
結局
［ｕ　ｖ　ｗ］＾－１Ａ［ｕ　ｖ　ｗ］＝Ｊ

No.3 回答者： reiman 回答日時： 2008/08/15 17:44

一部書き間違いがあったので修正します。

６）
以上の結果
（Ａ－ｓＥ）ｕ＝０
（Ａ－ｓＥ）ｖ＝ｕ
（Ａ－ｓＥ）ｗ＝０
つまり
Ａｕ＝ｓｕ
Ａｖ＝ｕ＋ｓｖ
Ａｗ＝ｓｗ
となり
Ａ［ｕ　ｖ　ｗ］＝［ｕ　ｖ　ｗ］Ｊ
となる。
結局
［ｕ　ｖ　ｗ］＾－１Ａ［ｕ　ｖ　ｗ］＝Ｊ

この回答への補足

５）のところで固有空間とありましたが、固有空間とは何を表わしているのでしょうか？教えてください。

補足日時：2008/08/16 21:46

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2008/08/15 15:29

Ａを３次正方行列とし、ジョルダン形式化の手順を書きます。

１）
固有多項式を求め固有値を求める。
以下固有値をｓとし固有多項式の３重解とします。

２）
ｒ＝ｒａｎｋ（Ａ－ｓＥ）を求める。
固有値sに対するジョルダンブロックの個数は３－ｒで求まる。
以下ｒ＝１とする。
この場合ジョルダンブロックの数は２です。

３）
ジョルダン形式を求める。
Ａは３次でありｓのジョルダンブロック個数は２なので
ジョルダン形式は
Ｊ＝
（ｓ　１　０）
（０　ｓ　０）
（０　０　ｓ）
でしかありません。
Ａが４次以上だと
ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾２）・・・
を求めなければならない場合もあります。

４）
（Ａ－ｓＥ）＾２ｖ＝０
かつ
（Ａ－ｓＥ）ｖ≠０
なる３次列ベクトルｖを求める。
今回の場合、（Ａ－ｓＥ）＾２＝０となることは明らかなので
ｖを例えば（１，０，０）＾Ｔにとれば良い。
ｕ＝（Ａ－ｓＥ）ｖ
とおく。
このとき
（Ａ－ｓＥ）ｕ＝０となりｕは固有ベクトルである。

５）
ｕと独立な固有ベクトルｗを決定する。
固有値ｓの固有空間は２次なのでｕに独立な固有ベクトルがある。

６）
以上の結果
（Ａ－ｓＥ）ｕ＝０
（Ａ－ｓＥ）ｖ＝ｕ
（Ａ－ｓＥ）ｗ＝０
つまり
Ａｖ＝ｓｕ
Ａｖ＝ｕ＋ｓｖ
Ａｖ＝ｓｗ
となり
Ａ［ｕ　ｖ　ｗ］＝［ｕ　ｖ　ｗ］Ｊ
となる。
結局
［ｕ　ｖ　ｗ］＾－１Ａ［ｕ　ｖ　ｗ］＝Ｊ

No.1 回答者： reiman 回答日時： 2008/08/14 19:00

固有値（何重解かも含む）と固有多項式はどのようになったでしょうか？

この回答への補足

固有多項式は(λ-1)^3となり3重解で、固有値は1となりました。

補足日時：2008/08/15 14:50