こんにちは。よろしくお願い致します。

測度の定義は
(Ω,B)を可測空間(BはΩ上σ集合体)とする時,fが
(i) ∀b∈B,f(b)∈[0,∞],f(φ)=0.
(ii) f(∪[k=1..∞]b_k)=Σ[k=1..∞]f(b_k) (B∋b_1,b_2,…は互いに素)
を満たせば(Ω,B)上の測度という。

ボレル集合体の定義は
位相空間(X,T)においてσ(T):={B;T⊂B,BはX上のσ集合体}をB(X)と書き,X上のボレル集合体という。

有限加法族の定義は
(i) Ω∈B, (ii) b∈B⇒b^c∈B, (iii) b,c∈B⇒b∪c∈B.
の時,BをΩ上の有限加法族という。

a finite measureの定義は
(i) Bが有限加法族, (ii) fは(Ω,B)上の測度, (iii) f(b_1∪b_2)=f(b_1)+f(b_2) (B∋b_1,b_2は互いに素)
の時,Bを(Ω,B)上のa finite measureという。

a σfinte measureの定義は
(i) fは(Ω,B)上のa finite measure, (ii) Ω=∪[i=1..∞]b_i且つf(b_i)∈R (B∋b_1,b_2,…は互いに素),
の時,fを(Ω,B)上のa σfinite measureという。

です。

[Q] Define a measure μ on open intervals in R by
μ((a,b))=∫[a..b]x^2dx (-∞<a<b<∞)
(1) Why does this uniquely determine the measure μ on all of B(R)?
(2) Show μ({0})=0. (Be specific)
(3) Is μ a finite measure? σ-finite? Why?

という問題です。
(1)の「何故これが一意的に全B(R)(ボレル集合体)上の測度μを決定するのか?」の意味が分かりません。
1次元ボレル集合体B(R)とはσ(T):={B∈2^R;T⊂B (BはR上のσ集合体)}(Tは開集合全体の集合)だと思います。
全てのB(R)だから
K_1={(a,b)∈2^R;a,b∈R}や
K_2={[a,b)∈2^R;a,b∈R}や
K_3={(a,b]∈2^R;a,b∈R}や
K_4={[a,b]∈2^R;a,b∈R}と置くとユークリッド空間Rの位相は
T_0={φ,R},
T_1={∪[λ∈Λ]G_λ;G_λ∈K_1},
T_2={∪[λ∈Λ]G_λ;G_λ∈K_2},
T_3={∪[λ∈Λ]G_λ;G_λ∈K_3},
T_4={∪[λ∈Λ]G_λ;G_λ∈K_4},
T_5=2^R
はいずれもRの位相になると思いますので少なくとも
B(R)は6種類が考えられると思います。
これ以外にもB(R)はあるのでしょうか?
あるのならどんな位相が考えられるのでしょうか?そして網羅しつくした事をどうやって示せばいいのでしょうか?
そして全B(R)上の測度μはこのμ唯一つしかない事はどうやって示せばいいのでしょうか?
とりあえず,自力でやってみました。。
このμの他にB(R)(仮に位相はT_0としてみて)上の測度μ'があったとすると
B(R)=σ(T_0)は∩[B∈{B;T⊂B,BはR上のσ集合体}]B={φ,R}になると思います。
そしてμ'は測度なのだから

(i) ∀b∈B,μ'(b)∈[0,∞],μ'(φ)=0.
(ii) μ'(∪[k=1..∞]b_k)=Σ[k=1..∞]μ'(b_k) (B∋b_1,b_2,…は互いに素)

を満たさねばなりません,,,,
これからμ'がμ'(φ)=0 (∵測度の定義)は言えましたが
このB(R)は今{φ,R}なので区間を元に持ちませんので
μ'((a,b))=∫[a..b]x^2dx (-∞<a<b<∞)と書き表せようがないと思います。

問題文を誤釈してますでしょうか?


(2)については今,R上のσ集合体Bをopen intervalsにしているので
{0}=∩[n=1..∞](-1/n,1/n)∈Bと言えるから∩[n=1..∞](-1/n,1/n)はμ上で定義されていている。
それで
μ({0})=μ(∩[n=1..∞](-1/n,1/n))=Σ[n=1..∞]μ((-1/n,1/n))
=Σ[n=1..∞]∫[-1/n..1/n]x^2dx=Σ[n=1..∞][x^3/3]^1/n_-1/n
=Σ[n=1..∞]2/(3n^3)
となってしまったのですがこれは0になりませんよね。
何が間違っているのでしょうか?

(3)については
まずこのμがa finite measureを吟味してみますとa finite measureの定義から
まずσ集合体Bが有限加法族になっていないといけません。
しかし,ここでのσ集合体Bはopen intervalsで-∞<a<b<∞となっていますので
少なくともR∈Bを満たしませんからBは有限加法族になってません。
従って,このμはa finite measureではない。
次にa σfinite measureになっているかを吟味すると,
まずa finite measureになっていなければなりませんが
既にa finite measureでない事は判明済みなのでσfinite measureでもない。。。

と結論づいたのですがこれで正しいでしょうか?

すいません。ご教示ください。

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A 回答 (13件中1~10件)

> A_i⊆A_i+1とh'(D∩A)<+∞を仮定しない場合がどうしても示せません。



前者は、あらかじめ有限和について証明しておき、一般には
 B_n = ∪[i=1..n]A_i
とおけば、B_i⊆B_i+1なので、これに帰着する。
後者は、h'(D∩A)=+∞のとき、
 h'(D)≧h'(D∩A)+h'(D∩A^c)
を言うにはh'(D)=+∞を言えば良いが、これは
 D∩A⊆D
を使えば、すぐ言える。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
漸く解決いたしました。

お礼日時:2008/09/19 02:24

ANo.11のお礼について。


h'(D∩A)=+∞の場合は別途証明します。
簡単に示せますよ。
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この回答へのお礼

遅くなりましてすいません。



> ANo.11のお礼について。
> h'(D∩A)=+∞の場合は別途証明します。
> 簡単に示せますよ。


A_i⊆A_i+1とh'(D∩A)<+∞を仮定しない場合がどうしても示せません。
どうかご教示ください。

お礼日時:2008/09/18 00:20

> >  h'(D)=h'(D∩A_n)+h'(D∩A_n^c)


> これはどうしていえるんですか?

外測度の劣加法性から
 h'(D)≦h'(D∩A_n)+h'(D∩A_n^c)
A_nを可測と仮定しているから
 h'(D)≧h'(D∩A_n)+h'(D∩A_n^c)
で、この両者から
 h'(D)=h'(D∩A_n)+h'(D∩A_n^c)
です。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

> 外測度の劣加法性から
>  h'(D)≦h'(D∩A_n)+h'(D∩A_n^c)
> A_nを可測と仮定しているから
>  h'(D)≧h'(D∩A_n)+h'(D∩A_n^c)
> で、この両者から
>  h'(D)=h'(D∩A_n)+h'(D∩A_n^c)
> です。

納得です。

> 追加の仮定(*)を外して一般化してください。

これを外すと
「このとき∀ε>0に対して∃nがあって
 h'(D∩A)≦h'(D∩A_n)+ε」
がいえなくなるのですが、、、
どうすれば一般化できるのでしょうか?

お手数おかけしましてすいません。

お礼日時:2008/09/14 04:03

> h'(D)≧h'(D∩∪[i=1..∞]A_i)+h'(D∩(∪[i=1..∞]A_i)^c)}


証明の詳細は覚えてないのでちょっと考えてみました。
A=∪[i=1..∞]A_iと置きます。
A_i⊆A_i+1とh'(D∩A)<+∞を仮定します。(*)
このとき∀ε>0に対して∃nがあって
 h'(D∩A)≦h'(D∩A_n)+ε
あと
 h'(D∩A^c)≦h'(D∩A_n^c)
 h'(D)=h'(D∩A_n)+h'(D∩A_n^c)
これらから
 h'(D∩A)+h'(D∩A^c)≦h'(D∩A_n)+ε+h'(D∩A_n^c)=h'(D)+ε
εは任意なので
 h'(D∩A)+h'(D∩A^c)≦h'(D)
これで良いはずです。
追加の仮定(*)を外して一般化してください。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。


>  h'(D)=h'(D∩A_n)+h'(D∩A_n^c)

これはどうしていえるんですか?
D∩A_nとD∩A_n^cが互いに素だから等号成立とは
Caratheodory外測度の定義には無いはずですが…。

お礼日時:2008/09/12 09:55

ANo.8へのお礼から


> 可測集合全体とはこの場合,Rの冪集合2^Rの事ですね。2^Rが一番大きなσ集合体ですからね。

違います。ANo.4への補足に書かれた
> h'で可測になる集合全体とは{A∈2^R;∀D∈2^R,h'(D)≧h'(D∩A)+h'(D∩A^c)}
のことです。
この可測集合全体がσ集合体をなすことを言えば、開区間が可測集合であることとからB(R)の元が可測集合であると言えるわけです。

> となり,しかもμ(Ω_n)=μ'(Ω_n)<∞なので定理が使えてB(R)上でもμ=μ'が成り立つ。

その『定理』自体の証明は大丈夫ですか?
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この回答へのお礼

大変ありがとうございます。


> ANo.8へのお礼から
>> 可測集合全体とはこの場合,Rの冪集合2^Rの事ですね。2^Rが一番大きなσ集合体ですからね。
> 違います。ANo.4への補足に書かれた
>> h'で可測になる集合全体とは{A∈2^R;∀D∈2^R,h'(D)≧h'(D∩A)+h'(D∩A^c)}
> のことです。
> この可測集合全体がσ集合体をなすことを言えば、
> 開区間が可測集合であることとからB(R)の元が可測集合であると言えるわけです。

そうでしたか。失礼いたしました。

∀D∈2^R,h'(D∩R)+h'(D∩R^c)=h'(D)≦h'(D)なので
R∈{A∈2^R;∀D∈2^R,h'(D)≧h'(D∩A)+h'(D∩A^c)}

もし,A∈{A∈2^R;∀D∈2^R,h'(D)≧h'(D∩A)+h'(D∩A^c)}なら
∀D∈2^R,h'(D)≧h'(D∩A)+h'(D∩A^c)=h'(D∩A^c)+h'(D∩A)と書けるので
A^c∈{A∈2^R;∀D∈2^R,h'(D)≧h'(D∩A)+h'(D∩A^c)}

もし,A_i∈{A∈2^R;∀D∈2^R,h'(D)≧h'(D∩A)+h'(D∩A^c)} (i∈N)なら
∀D∈2^R,h'(D)=h'(D∩R)=h'(D∩((∪[i=1..∞]A_i)∪(∪[i=1..∞]A_i)^c)))
≦h'(D∩∪[i=1..∞]A_i)+h'(D∩(∪[i=1..∞]A_i)^c)}(∵Caratheodory外測度の定義(劣加法性))
となってしまい,
h'(D)≧h'(D∩∪[i=1..∞]A_i)+h'(D∩(∪[i=1..∞]A_i)^c)}が示せません。
D∩∪[i=1..∞]A_iとD∩(∪[i=1..∞]A_i)^cとは互いに素だから
h'(D)=h'(D∩∪[i=1..∞]A_i)+h'(D∩(∪[i=1..∞]A_i)^c)}
となりそうですが,Caratheodory外測度には劣加法性には互いに素の場合の但し書きも見当たりません。
h'(D)≧h'(D∩∪[i=1..∞]A_i)+h'(D∩(∪[i=1..∞]A_i)^c)}はどうやって示せますでしょうか?

仮に{A∈2^R;∀D∈2^R,h'(D)≧h'(D∩A)+h'(D∩A^c)}がσ集合体であると示せたすると
今回の証明問題は
『μとμ'を可測集合全体M上で定義されたσ-field measureとし,(M⊃)Iをπ-systemとする。もしI上でμ=μ'で
∃Ω_nは単調増加集合;lim[n→∞]Ω_n=Ωで∀n∈Nに対してμ(Ω_n)=μ'(Ω_n)<∞なら
M上でもμ=μ'が成り立つ』
を使うのですね。 それで今,B(R)⊂MでもあるのでB(R)ででもμ=μ'は成り立つ。
という訳ですね。


>> となり,しかもμ(Ω_n)=μ'(Ω_n)<∞なので定理が使えてB(R)上でもμ=μ'が成り立つ。
> その『定理』自体の証明は大丈夫ですか?

結局のこの定理を使えばいいのですね。証明ですか。がんばってみます。

お礼日時:2008/09/11 10:51

ANo.7のお礼から


> 意味がよく分かりません。B(R)=σ(T)が成り立つ事とB(R)がσ集合体である事を確認せよ。とおっしゃっているのですか?

B(R)=σ(T)は定義ですよ。
可測集合全体が開区間を含むσ集合体であることを示せば、B(R)は開区間を含む『最小の』σ集合体だから、B(R)⊂可測集合全体 が言えます。
だから「可測集合全体が開区間を含むσ集合体であること」を示せばよろしい。

> 『μとμ'をB(Ω)上で定義されたσ-field measureとし,Iをπ-systemとする。もしI上でμ=μ'で
> ∃Ω_nは単調増加集合;lim[n→∞]Ω_n=Ωで∀n∈Nに対してμ(Ω_n)=μ'(Ω_n)<∞なら
> B(Ω)上でもμ=μ'が成り立つ』
そうですね。この主張を示せば良いでしょう。
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この回答へのお礼

大変お手数おかけしています。m(_ _)m

> ANo.7のお礼から
> > 意味がよく分かりません。B(R)=σ(T)が成り立つ事とB(R)がσ集合体である事を確認せよ。とおっしゃっているのですか?
>
> B(R)=σ(T)は定義ですよ。
> 可測集合全体が開区間を含むσ集合体であることを示せば、B(R)は開区間を含む『最小の』σ集合体だから、
> B(R)⊂可測集合全体
> が言えます。
> だから「可測集合全体が開区間を含むσ集合体であること」を示せばよろしい。

可測集合全体とはこの場合,Rの冪集合2^Rの事ですね。2^Rが一番大きなσ集合体ですからね。
可測集合とはσ集合体の元の事ですから可測集合全体がσ集合体になるのは当たり前なのではないでしょうか?
開区間は自動的に2^Rに含まれますよね。
よって可測集合全体は開区間を含むσ集合体である。


>> 『μとμ'をB(Ω)上で定義されたσ-field measureとし,Iをπ-systemとする。もしI上でμ=μ'で
>> ∃Ω_nは単調増加集合;lim[n→∞]Ω_n=Ωで∀n∈Nに対してμ(Ω_n)=μ'(Ω_n)<∞なら
>> B(Ω)上でもμ=μ'が成り立つ』
> そうですね。この主張を示せば良いでしょう。

μ,μ'はσ-field measureと既に分かっているのでπ-system I:={(a,b);a,b∈R}上でμ=μ'は言えてて,
Ω_n:=(-n,n)と採るとこれは単調増加でlim[n→∞]Ω_n=R
となり,しかもμ(Ω_n)=μ'(Ω_n)<∞なので定理が使えてB(R)上でもμ=μ'が成り立つ。

、、で宜しいでしょうか?

お礼日時:2008/09/10 11:11

ANo.6のお礼から


> どうして外測度が出てくるのですか?

ANo.4の補足でh'と書いているものを使う。
これが開区間でμと一致することと、拡張の一意性から可測集合でh'=μとなる。

> > σ集合体になることを証明すれば十分でしょ。(なぜ十分か説明すること)
> > σ集合体になることの証明は定義を満たすことを確認すれば良い。(自分で確認すること)
> すいません。どうしても分かりません。
> 具体的にお教え下さい。
前者はB(R)=σ(T)が開区間を含む最小のσ集合体であるから。最小性を活用する。
後者はσ集合体であるための条件を一つずつ確認すれば良い。これは自分でやらないと。

あとπ-systemの補題はそのままだと使えないと思う。これは有限測度の場合だね。σ有限の場合は少し変更すれば良いんじゃないかな。
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この回答へのお礼

大変ありがとうございます。


> ANo.6のお礼から
>> どうして外測度が出てくるのですか?
> ANo.4の補足でh'と書いているものを使う。
> これが開区間でμと一致することと、拡張の一意性から可測集合でh'=μとなる。

h':2^R→Rを2^R∋∀A→h'(A):=inf{Σ[i=1..∞]μ(C_i)∈R;A⊂∪[k=1..∞]C_k
(C_1,C_2,…∈C(1))}
では開区間(a,b)では確かにh'((a,b))=μ((a,b))となりますよね。

拡張の一意性とは
『μをB(Ω)上のσ-finite measureとしμ'をB(Ω)上のLebesgue outer measureとする,Iをπ-systemとする。もしI上でμ=μ'で
∃Ω_nは単調増加集合;lim[n→∞]Ω_n=Ωで∀n∈Nに対してμ(Ω_n)=μ'(Ω_n)<∞なら
B(Ω)(B(Ω)はσ集合体なのでその元は可測集合)上でもμ=μ'が成り立つ』
ですかね?


> 前者はB(R)=σ(T)が開区間を含む最小のσ集合体であるから。最小性を活用する。
> 後者はσ集合体であるための条件を一つずつ確認すれば良い。これは自分でやらないと。

意味がよく分かりません。B(R)=σ(T)が成り立つ事とB(R)がσ集合体である事を確認せよ。とおっしゃっているのですか?


> あとπ-systemの補題はそのままだと使えないと思う。これは有限測度の場合だね。
> σ有限の場合は少し変更すれば良いんじゃないかな。

変更すると
『μとμ'をB(Ω)上で定義されたσ-field measureとし,Iをπ-systemとする。もしI上でμ=μ'で
∃Ω_nは単調増加集合;lim[n→∞]Ω_n=Ωで∀n∈Nに対してμ(Ω_n)=μ'(Ω_n)<∞なら
B(Ω)上でもμ=μ'が成り立つ』

ですかね?

μ,μ'はσ-field measureでπ-system I:={(a,b);a,b∈R}上でμ=μ'は言え,Ω_n:=(-n,n)と採るとこれは単調増加でlim[n→∞]Ω_n=R
となり,しかもμ(Ω_n)=μ'(Ω_n)<∞なので定理が使えてB(R)上でもμ=μ'が成り立つ。


としてみたのですが正しいでしょうか?

お礼日時:2008/09/10 03:46

ANo.5の補足から


> そうです。T^cは{t^c:t∈T}の意味です。
> するとB(R)=T∪T^cですね。
いや、B(R)⊃T∪T^cは言えるけど、逆は成り立たない。
B(R)=T∪T^cだと半開区間も入ってこないでしょ。

> そう言えば可算個とは限りませんよね。下記のように非可算個で考えたのですが可算加法性が使えません。

だからボレル集合(ボレル集合体の要素)を具体的に表す方針では無理があるんだって。
要素の具体的表現は必要なくて、外測度で可測となる集合全体がσ集合体になることを証明すれば十分でしょ。(なぜ十分か説明すること)
σ集合体になることの証明は定義を満たすことを確認すれば良い。(自分で確認すること)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。


> だからボレル集合(ボレル集合体の要素)を具体的に表す方針では無理があるんだって。

了解いたしました。


> 要素の具体的表現は必要なくて、外測度で可測となる集合全体が

どうして外測度が出てくるのですか?

> σ集合体になることを証明すれば十分でしょ。(なぜ十分か説明すること)
> σ集合体になることの証明は定義を満たすことを確認すれば良い。(自分で確認すること)

すいません。どうしても分かりません。
具体的にお教え下さい。


[定義]Ωを集合とする。I_1,I_2∈I⇒I_1∩I_2∈Iの時,IをΩ上のπ-systemという。

[π-systemの補題] Iをπ-systemとし,μ_1とμ_2がσ(I)上の測度とする。I上でμ_1=μ_2でμ_1(Ω)=μ_2(Ω)<∞なら
σ(I)上でμ_1=μ_2が成り立つ。

[例] I={(-∞,x];x∈R}はR上のπ-systemとなり,σ(I)=B(R)となる。

というのを見かけました。
(a,b)∈{(-∞,x];x∈R}なので[π-systemの補題]が使えるのでは思いましたが
μ_1(R)=μ_2(R)=∫[-∞..+∞]x^2dx=+∞なので条件μ_1(R)=μ_2(R)<∞を満たしません。
どうすればいいでしょうか?

すいません。是非ともお助けください。

お礼日時:2008/09/09 10:11

ANo.4の補足から


> B(R)=σ(T) (TはRの開集合全体の集合)
> ={B∈2^R;T⊂B,BはR上のσ集合体}=T∪T^c=2^R
 σ(T)=∩{B∈2^R;T⊂B,BはR上のσ集合体}
だよ。

> ∀t∈Tに対しt^c(閉区間)がどうしてもTに入らないのでTはσ集合体にならず
こういう書き方をしているということは本当に分かってないね。
T自体はσ集合体じゃないよ。Tを含む最小のσ集合体をB(R)としたのだからね。
また、確かに∀t∈Tに対してt^c∈B(R)ではあるけど、それをT^cとは普通は書かない。あるいは
 T^c:={t^c:t∈T}
と定義したのならT∪T^c=2^Rとはならない。

> ∀A∈B(R)を採るとこれは開区間k個,左半開区間m_1,右半開区間m_2個,閉区間n個,単集合s個から出来ているとすると
> A=∪[i=1..k](a_i,b_i)∪∪[i=1..m_1](c_i,d_i]∪∪[i=1..m_2][e_i,f_i)∪∪[i=1..n][p_i,q_i]∪∪[i=1..s]{r_i}

任意のボレル集合をこんな簡単に書けるとは思えないけど。
これを主張するなら証明すること。

もう一度、用語の使い方と論理構成を全面的に再確認してみた方が良いね。

この回答への補足

大変ありがとうございます。

>> B(R)=σ(T) (TはRの開集合全体の集合)
>> ={B∈2^R;T⊂B,BはR上のσ集合体}=T∪T^c=2^R
>  σ(T)=∩{B∈2^R;T⊂B,BはR上のσ集合体}
> だよ。

そうでした。"∩"を忘れておりました。


>> ∀t∈Tに対しt^c(閉区間)がどうしてもTに入らないのでTはσ集合体にならず
> こういう書き方をしているということは本当に分かってないね。
> T自体はσ集合体じゃないよ。Tを含む最小のσ集合体をB(R)としたのだからね。
> また、確かに∀t∈Tに対してt^c∈B(R)ではあるけど、それをT^cとは普通は書かない。あるいは
>  T^c:={t^c:t∈T}
> と定義したのなら

そうです。T^cは{t^c:t∈T}の意味です。


> T∪T^c=2^Rとはならない。

するとB(R)=T∪T^cですね。


>> ∀A∈B(R)を採るとこれは開区間k個,左半開区間m_1,右半開区間m_2個,閉区間n個,単集合s個から出来ているとすると
>> A=∪[i=1..k](a_i,b_i)∪∪[i=1..m_1](c_i,d_i]∪∪[i=1..m_2][e_i,f_i)∪∪[i=1..n][p_i,q_i]∪∪[i=1..s]{r_i}

そう言えば可算個とは限りませんよね。下記のように非可算個で考えたのですが可算加法性が使えません。
どのようにすれば証明できましょうか? お助けください。


μ':B(R)→R で-∞<a<b<+∞に於いてはμ'((a,b))=∫[a..b]x^2dxであるような他のR上の測度μ'を考える。
∀A∈B(R)を採るとこれは開区間#Λ_1個,左半開区間#Λ_2,右半開区間#Λ_3個,閉区間#Λ_4個,単集合#Λ_5個から出来ている(Λ_1,Λ_2,Λ_3,Λ_4,Λ_5は非可算な添数集合)とすると
A=∪[λ∈Λ_1](a_λ,b_λ)∪∪[λ∈Λ_2](c_λ,d_λ]∪∪[λ∈Λ_3][e_λ,f_λ)∪∪[λ∈Λ_4][p_λ,q_λ]∪∪[λ∈Λ_5]{r_λ}
これは次のように開集合と単集合とで表せるから
A=∪[λ∈Λ_1](a_λ,b_λ)∪∪[λ∈Λ_2](c_λ,d_λ)∪∪[λ∈Λ_2]{d_λ}∪∪[λ∈Λ_3](e_λ,f_λ)∪∪[λ∈Λ_3]{e_λ}∪[λ∈Λ_4](p_λ,q_λ)∪∪[λ∈Λ_4]{p_λ,q_λ}∪[λ∈Λ_5]{r_λ}
従って,μ(A)=μ(∪[λ∈Λ_1](a_λ,b_λ)∪∪[λ∈Λ_2](c_λ,d_λ)∪[λ∈Λ_3](e_λ,f_λ)∪[λ∈Λ_4](p_λ,q_λ))
(∵(2))
=Σ[λ∈Λ_1]μ((a_λ,b_λ))+Σ[λ∈Λ_2]μ((c_λ,d_λ))+Σ[λ∈Λ_3]μ((e_λ,f_λ))+Σ[λ∈Λ_4]μ((p_λ,q_λ))

ここで非可算個の場合には可算加法性は使えない!?
=Σ[λ∈Λ_1]∫[a_λ..b_λ]x^2dx+Σ[λ∈Λ_2]∫[c_λ..d_λ]x^2dx+Σ[λ∈Λ_3]∫[e_λ..f_λ]x^2dx+Σ[λ∈Λ_4]∫[p_λ..q_λ]x^2dx

補足日時:2008/09/08 03:01
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この回答へのお礼

同様に
μ'(A)=μ'(∪[λ∈Λ_1](a_λ,b_λ)∪∪[λ∈Λ_2](c_λ,d_λ)∪[λ∈Λ_3](e_λ,f_λ)∪[λ∈Λ_4](p_λ,q_λ))
=Σ[λ∈Λ_1]μ'((a_λ,b_λ))+Σ[λ∈Λ_2]μ'((c_λ,d_λ))+Σ[λ∈Λ_3]μ'((e_λ,f_λ))+Σ[λ∈Λ_4]μ'((p_λ,q_λ))
=Σ[λ∈Λ_1]∫[a_λ..b_λ]x^2dx+Σ[λ∈Λ_2]∫[c_λ..d_λ]x^2dx+Σ[λ∈Λ_3]∫[e_λ..f_λ]x^2dx+Σ[λ∈Λ_4]∫[p_λ..q_λ]x^2dx


で等しくなった! 即ち,μ=μ'.

以上より,μはB(R)全体で一意に定まっている。  (終)

お礼日時:2008/09/08 03:03

ANo.3へのお礼について。


R上のルベーグ測度は区間の長さから2^R上の外測度を定義して、これをルベーグ可測集合に制限することで構築している。
同じように開区間に対して値の分かっているμを使って外測度を定義することができる。
この外測度で可測になる集合の全体がボレル集合体を包含していることを示せばμがボレル集合体に拡張できることが分かる。
一意性も同様にルベーグ測度の一意性と同じ方法で示せるでしょう。

この回答への補足

大変ありがとうございます。

> ANo.3へのお礼について。
> R上のルベーグ測度は区間の長さから2^R上の外測度を定義して、これをルベーグ可測集合に制限することで構築している。

μ*可測の定義は
μ*を可測空間(R^n,2^(R^n)) 上の外測度とする。R^n⊃Eが(R^n,2^(R^n))上μ*可測とは
∀C∈2^(R^n), μ*(C)≧μ*(C∩E)+μ*(C∩E^c)
を満たす時,Eはμ*可測であるという。

Lebesgue可測集合全体の集の定義は
写像μ*:2^(R^n)→R∪{+∞}はルベーグ外測度とする。
L:={E∈2^(R^n);Eは可測空間(R^n,2^(R^n))上でμ*可測}をLebesgue可測集合全体の集
合という。

Lebesgue測度の定義は
μ*をLebesgue外測度とする。制限写像μ*|Lは測度をなす。
この時,この制限写像μ*|LをR^n上のLebesgue測度という。

ですね。


> 同じように開区間に対して値の分かっているμを使って外測度を定義することができる。

C(1)を一次元区間塊とするとg:C(1)→Rを
C(1)∋∪[i=1..k](a_i,b_i]→g(∪[i=1..k](a_i,b_i]):=
b_1-a_1 (k=1で(a_1,b_1]が有界の時)
sup{(d-c)∈R;((a_1,b_1]⊃)(c,d]は有界} (k=1で(a_1,b_1]が非有界の時)
0 (k=1で(a_1,b_1]=φの時)
Σ[i=1..k]g((a_i,b_i]) (k>1の時)

とする時,h:2^R→Rを2^R∋∀A→h(A):=inf{Σ[i=1..∞]g(C_i)∈R;A⊂∪[k=1..∞]C_k (C_1,C_2,…∈C(1))}
とするとこのhがルベーグ外測度ですよね。

μを使うという事はここでのgをμと見立てろという事でしょうか?

そうすると
h':2^R→Rを2^R∋∀A→h'(A):=inf{Σ[i=1..∞]μ(C_i)∈R;A⊂∪[k=1..∞]C_k (C_1,C_2,…∈C(1))}

> この外測度で可測になる集合の全体が

h'で可測になる集合全体とは{A∈2^R;∀D∈2^R,h'(D)≧h'(D∩A)+h'(D∩A^c)}ですよね。


> ボレル集合体を包含していることを示せば

B(R)=σ(T) (TはRの開集合全体の集合)
={B∈2^R;T⊂B,BはR上のσ集合体}=T∪T^c=2^R
というふうにB(R)の正体は2^Rとなってしまったのですが正しいでしょうか?
∀t∈Tに対しt^c(閉区間)がどうしてもTに入らないのでTはσ集合体にならず
TにRの閉集合全体を付け加えればσ集合体にできるのではと思いましたら
離散位相2^Rになってしまいました。

よって∀A∈B(R), Aが単集合なら(2)よりμ(A)=0なのでA=[a,b] (a<b)ならA={a}∪(a,b)∪{b}と書け、
μ(A)=μ({a})+μ((a,b))+μ({b}) …(1) (∵μは測度) =0+μ((a,b))+0
従って,∀A∈2^R,∀D∈2^Rに対しDやD∩AやD∩A^cは結局は開区間と単集合らで書けるので
h'(D)≧h'(D∩A)+h'(D∩A^c)は満たされると思います。

> μがボレル集合体に拡張できることが分かる。

上記は拡張できた事になるんですかね。


> 一意性も同様にルベーグ測度の一意性と同じ方法で示せるでしょう。

つまり,
μ':B(R)→R で-∞<a<b<+∞に於いてはμ'((a,b))=∫[a..b]x^2dxであるような他のR上の測度μ'を考える。
∀A∈B(R)を採るとこれは開区間k個,左半開区間m_1,右半開区間m_2個,閉区間n個,単集合s個から出来ているとすると
A=∪[i=1..k](a_i,b_i)∪∪[i=1..m_1](c_i,d_i]∪∪[i=1..m_2][e_i,f_i)∪∪[i=1..n][p_i,q_i]∪∪[i=1..s]{r_i}
(1)のように開集合と単集合とで表せるから
A=∪[i=1..k](a_i,b_i)∪∪[i=1..m_1](c_i,d_i)∪∪[i=1..m_1]{d_i}∪∪[i=1..m_2](e_i,f_i)∪∪[i=1..m_2]{e_i}∪[i=1..n](p_i,q_i)∪∪[i=1..n]{p_i,q_i}∪[i=1..s]{r_i}
従って,μ(A)=μ(∪[i=1..k](a_i,b_i) ∪ ∪[i=1..m_1](c_i,d_i) ∪ ∪[i=1..m_2](e_i,f_i) ∪ ∪[i=1..n](p_i,q_i)))
=Σ[i=1..k]μ((a_i,b_i))+Σ[i=1..m_1]μ((c_i,d_i))+Σ[i=1..m_2]μ((e_i,f_i))+Σ[i=1..n]μ((p_i,q_i))
=Σ[i=1..k]∫[a_i..b_i]x^2dx+Σ[i=1..m_1]∫[c_i..d_i]x^2dx+Σ[i=1..m_2]∫[e_i..f_i]x^2dx+Σ[i=1..n]∫[p_i..q_i]x^2dx

同様に
μ'(A)=μ'(∪[i=1..k](a_i,b_i) ∪ ∪[i=1..m_1](c_i,d_i) ∪ ∪[i=1..m_2](e_i,f_i) ∪ ∪[i=1..n](p_i,q_i)))
=Σ[i=1..k]μ'((a_i,b_i))+Σ[i=1..m_1]μ'((c_i,d_i))+Σ[i=1..m_2]μ'((e_i,f_i))+Σ[i=1..n]μ'((p_i,q_i))
=Σ[i=1..k]∫[a_i..b_i]x^2dx+Σ[i=1..m_1]∫[c_i..d_i]x^2dx+Σ[i=1..m_2]∫[e_i..f_i]x^2dx+Σ[i=1..n]∫[p_i..q_i]x^2dx

補足日時:2008/09/07 04:35
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この回答へのお礼

で等しくなった! 即ち,μ=μ'.

以上より,μはB(R)全体で一意に定まっている。  (終)


これで大丈夫でしょうか?

お礼日時:2008/09/07 04:36

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有限会社は赤字がありまして、
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有限会社を一旦解散し、株式会社へ組織変更となると、
赤字を移行できないということでしょうか?

どなたかアドバイスお願いします。

Aベストアンサー

現行会社法上は、有限会社から株式会社への変更につき、単なる社名変更と似たものとして位置づけられています。

したがって、負債はそのまま受け継がれます。

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なお、有限会社から株式会社への変更は上記のとおりですので、組織変更ではありませんネ。また、これも念のためですが、資本金要件は無くなっています。

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有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

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#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

ヒント
fに対する不足和、過剰和を、それぞれ、 s(f,Δ)、S(f,Δ)というふうに書けば、s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) に注意せよ。

同書の略解
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s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)

からそれぞれの辺のsup、infを考えるとできるのではないかとも思われるのですが、どうしてもわかりませんでした。

よろしくお願いいたします。

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

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#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

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Aベストアンサー

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
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sup(f)では逆に小さくなる。
(グラフを描いてみればわかると思います)

すなわち、分割を細かくすると、不足和は大きく、過剰和は小さくな
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という意味で使っているので、Δは分割の変数のような記号と思って
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このように、別個の分割に対する不等式が示せたので、
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infのほうも同様です。

本の記述はわかりませんが、同じ分割に対してのみsup,infを考えてい
たのでは、やや曖昧な気がします。

しかし、私の大学時代の関数論が専門の教授は、一松信先生は大先生
だと絶賛していましたが・・・
おそらく、本の中で論理は通っているものと思われますが・・・

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s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
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小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
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inf(f)(yj-x(i...続きを読む

Q株式から有限への組織変更の仕方について

株式会社から有限会社への組織変更はどのようにしたら良いのでしょうか?

Aベストアンサー

1.株主総会を開催し、組織変更について決議をして議事録を作成します。
2.株式会社解散の登記の申請と、有限会社設立の登記の申請を同時に行います。

登記完了後、税務署、都道府県税事務所、市町村役場などに、変更届を提出します。

下記のページと参考urlをご覧ください。http://www.sunfield.ne.jp/~shihou/sodan/ka03.htm

参考URL:http://www009.upp.so-net.ne.jp/hideki-yokoo/sosikihenkou2.html

Q{s_n}をf∈L^+(a,b)の定義関数列とする時,lim[n→∞]∫[a..b](f(x)-s_n(x))dx=0を示せ

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f∈L^+(a,b)に対し,定義関数列{s_n}が存在する。その時,
lim[n→∞]∫[a..b](f(x)-s_n(x))dx=0を示せ。
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という問題なのですがどのように証明していいのか分かりません。
定義関数列の定義からs_1(x)≦s_2(x)≦…≦f(x)
でs_n(x)はf(x)に近づいていくので0となる事は直観では分かるのですが…。

どのようにすればいいのでしょう?

Aベストアンサー

つまり
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f(x)=lim[n→∞]∫[a..b](s_n(x))dx
が成立するのを言えばいいのではないでしょうか。

P27,28に書いてあります。

参考URL:http://www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h19/2007kuwabara.pdf

Q有限会社を株式会社に組織変更をするとき

有限会社を株式会社に組織変更をするとき、資本の増減はしませんが、催告書を出す必要があるのでしょうか?

Aベストアンサー

すみません。「催告書」って株式会社に組織変更するときに必要なものですか?チョットその点はよくわかりませんが一般的には下記のようにいわれています。

●有限会社から株式会社への組織変更

  ・現存する純資産額が1000万円未満のとき
    ⇒1000万円以上に増資した後でなけれ      ば、株式会社に組織変更することができま     せん。
  
  ・現存する純資産額が1000万円以上のとき
    ⇒1000万円以上に資本増加の登記をする     ことなく、株式会社に組織変更することが     できます。 


  ▼その他組織変更のポイント
  
  ・公証人による定款の認証は不要です。
     
  ・組織変更前の有限会社の解散の登記と、組織変   更による株式会社の設立の登記を同時に申請し   なければなりません。
  
  ・組織変更に際して、商号・目的を変更する場合   でも、別に商号・目的の変更登記を申請する必   要はありません。
   この場合、登録免許税も組織変更分のみです。
  
  ・株式会社の資本金が有限会社の時よりも減少す   る場合は、債権者保護手続が必要です。
  

以上、骨子ですが、参考にしてください。

すみません。「催告書」って株式会社に組織変更するときに必要なものですか?チョットその点はよくわかりませんが一般的には下記のようにいわれています。

●有限会社から株式会社への組織変更

  ・現存する純資産額が1000万円未満のとき
    ⇒1000万円以上に増資した後でなけれ      ば、株式会社に組織変更することができま     せん。
  
  ・現存する純資産額が1000万円以上のとき
    ⇒1000万円以上に資本増加の登記をする     ことなく、株式会社に...続きを読む

Q∫(a,b)αf(x)dx=α∫(a,b)f(x)dxという定積分の性質の証明について

aからbまでのf(x)の定積分を∫(a,b)f(x)dxと表します。

不足和・過剰和から始まって定積分を定義した後の、「f(x)が区間[a,b]でリーマン積分可能で、αが定数ならば、∫(a,b)αf(x)dx=α∫(a,b)f(x)dx」という定積分の性質の証明についてですが、大学初年級の理工学部向けの教科書・参考書ではこの定理の証明はたいてい「容易なので省略する」となっており、私が見た中で唯一証明してあるのは「微分積分学1」(三村征雄、岩波全書)です。

この本(235ページ)によると、α≧0、α≦0の二つの場合に分けています。α≧0の場合は容易ですが、α≦0のときにはsup(-f(x))=-inff(x)であることを示してからひとつの補題を証明し、その後に上の証明に取り掛かっています。これによると、この定理は、どうも「容易なので省略する」とはいえないような気がします。

そこでお尋ねですが、
1 αの場合分けをしないなどして、定積分の定義から容易に、それこそ2,3行ぐらいで証明する手法はありますか?
(ただし、f(x)が連続関数であるときの定理∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a)(F(x)はf(x)の原始関数)というルートは使わないものとします。)

2 もし、容易でないにもかかわらず証明を省略する場合は紙数の都合によるのでしょうか?

3 初学者には容易ではないのに、著者がそう判断してしまっているということはありえますか?

以上、よろしくお願いいたします。

aからbまでのf(x)の定積分を∫(a,b)f(x)dxと表します。

不足和・過剰和から始まって定積分を定義した後の、「f(x)が区間[a,b]でリーマン積分可能で、αが定数ならば、∫(a,b)αf(x)dx=α∫(a,b)f(x)dx」という定積分の性質の証明についてですが、大学初年級の理工学部向けの教科書・参考書ではこの定理の証明はたいてい「容易なので省略する」となっており、私が見た中で唯一証明してあるのは「微分積分学1」(三村征雄、岩波全書)です。

この本(235ページ)によると、α≧0、α≦0の二つの場合に分けています。α≧0の...続きを読む

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細かい議論までは、追っていませんが、リーマン積分の定義が分かっていれば、「自明」じゃないですかね。
リーマン積分というのは、上積分の下限と下積分の上限が一致する時に、この値を∫(a,b)f(x)dxのように書くという感じで定義されてましたよね。(ちゃんとした定義は教科書を見てください)

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資本金を増資しなくても、有限会社を株式会社に組織変更できるという商法改正への
答申が行われたそうですが、
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Aベストアンサー

「今、組織変更する意義」ということなので、既に株式会社に組織変更する方針を固めているという前提で考えてみました。

1.法改正後に組織変更した場合と比べ、取引先からの評価が上がることが期待出来る。法改正後だと「あそこの会社は増資をせずに組織変更したな」と、まずはそう考えるでしょう。もちろん増資したからエライという訳ではありませんが、法改正前に組織変更した場合と比べると評価は異なるでしょう。(実際のところ名前は名前でしかないのですが。)

2.単純に法改正まで待てない。
株式会社に組織変更すれば何らかの効果が期待出来る場合、法改正まで待つのは時間の浪費かと思います。

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Q(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy=∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dyの成立条件

(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy(つまり、f(x,y)をyで積分(定積分)したものをxで微分したもの)を考えます(ただし、(a~b)は積分範囲を表し、aやbは定数であって、xの関数ではありません)。
これは多くの場合、∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dy(つまり、f(x,y)を先にxで微分してからyで積分したもの)と等しくなります。しかし、まれに一致しない場合があります。例としては、f(x,y)=(sin xy)/y (x>0)の場合が挙げられます。
そこで、
(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy=∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dy
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もし簡単には述べられない条件でしたら、何のどこを参照すればこのことが論じられているのかを具体的にご教示いただけると幸いです。

Aベストアンサー

積分と微分の順序交換については
必要十分条件は一般にはありません.
ただし,十分条件は知られています.

リーマン積分の範囲だと
f(x,y)が連続で,f_y(x,y)も連続くらいの条件があれば
d/dy∫f(x,y)dx = ∫f_y(x,y)dx
くらいがいえるはずです.
#積分区間とかは省きます.

その十分条件で一番便利だろうと思われるものは
ルベーク積分の言葉で記述されます.
興味があれば,「ルベーク積分」の本を
追いかけてください.
・ルベークの有界収束性定理
・L^1空間
というようなものが理解できれば,順序交換の定理は理解できます.

Q有限会社から株式会社への組織変更

有限会社から株式会社へ組織変更したいと考えています。現在の有限会社は資本金が1000万円あるのですが、欠損をかかえているため、債務超過です。現行法上は組織変更は不可能でしょうか。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

具体的に回答すると、どうしても違法行為に話しが及びがちなので、こういった公式の場では皆さんお返事に苦慮されるのではないのでしょうか
会計や司法・行政の事務所にそこそこ勤務していれば、こういった事例には少なからず当たるケースがあります
方法は、あります
ただ
そうまでして株式にする意味があるかどうかと言う問題ですが

Q関数f(x)は閉区間I=(a,b)で単調増加である(-∞<a<b<∞)

関数f(x)は閉区間I=(a,b)で単調増加である(-∞<a<b<∞)、ここで、B:=inf[a<x<b]f(x) (≧-∞)とおく。

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

「lim[x→a+0]f(x)=-∞ を示す」ために, 何が言えればいいかを考えてください.


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