白玉6個、赤玉2個、黒玉1個の合計9個の玉がある。ただし、同色の玉どうしは区別がつかないものとする。
9個の玉を左から横一列に並べる
1、並べ方は全部で何通り?
2、赤玉2個が隣り合う並べ方は何通り?
3、赤玉と黒玉が隣り合う並べ方は何通り?
4、二つの並べ方のうち、一方を180度回転させると他方に重なる時、
この二つの並べ方は同じ並べ方であるとみなす事にするような並べ方は
何通り?
5、平面上に、9個の玉を円形に等間隔に並べるとき、並べ方は何通り?
こんな問題なんですが、カードとかで、1,2,3とか番号がついてる
ならば、Pを使って、9P9とすればいいんですよね?でも、区別がつかない
とわからないです。解き方を問題数が多いと思いますが、丁寧に説明して
くださる方お願いします。後、よろしければ、PとCの使い方の区別の仕方
を教えてください。お願いします!
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
4.なんですけど、なんか私の解釈とみなさんの解釈が違うような・・・
私の解釈は、
1.の並べ方のうち、左右対称なものMとおり、左右非対称なものNとおりとすると、
左右非対称なものについて、2個ずつ1セットになる。
(たとえばWWWWWWRRBとBRRWWWWWWは、順列としては違う並べ方であるが、4.の題意的には同じ並べ方)
ということで、求める並べ方は M + N/2 通り。
という考え方なのですが。128通りが答えになります。
みなさん、上記の「M通り」を求めようとされているのですが・・・どっちが正しい解釈なのでしょうか?
No.7
- 回答日時:
う~ん、これって結構難しい問題ですよ(^^;
ご質問中からPとCの使い方の区別がまだ難しいみたいですが、そのあたりの基本からはだいぶひねりが加わった応用レベルです。
解答は他の方の通りですが、読んですぐに理解できますか?
(4の解釈については#4さんのが自然だと思います、私は問題文を一読してこの解釈しか思い浮かびませんでした。多少言葉たらずな問題だとは思いましたが)
PとCについてのみ少し触れておきます。
10P2:10個から2個を選び出し、その2つを順に並べる方法
10C2:10個から2個を選び出す方法
というのはお決まりの説明ですね。
なぜ「選び出し」さらに「それを順に並べる」Pの方を先に習うかというと、そちらの方が「選び出す」だけのCよりも求めるのが楽だからです。不思議ですね。
Pは次のように考えることで直接求められます。
選んだ2つを並べるの箱A、Bを先に用意しておきます。Aに入れるものを選ぶ方法は10通り、次にBに入れるものを選ぶ方法は(1個減っているから)9通り。よって10*9通り。
これに対してCの「選び出す」だけ、はうまいモデルが考えられないのです。
だからPのモデルを使って少し回り道をして考えます。(並べなくてもいいのに)ひとまず2個選んで並べることにします。この方法は10P2通りですね。で本来並べなくてよかった(選び出すだけでよかった)わけですから、A,Bの
箱の並び替えのぶんだけ多く数えすぎてしまっているので(重複といいますね)そのぶん後から割り算しておくのです。10C2=10P2÷(2個の並び替え)です。2個の並べ替え=2!ですから教科書の公式が求まるわけです。
「10人クラスから委員長と副委員長を選ぶ方法」なら10P2ですし、
「10人クラスから図書委員2人を選ぶ方法」なら10C2となるわけです。
これがPとCの使い分けの基本ですが、問題によってどちらのモデルと数え方が一致しているのかをそのつど考えるようにしてください。こういう問題はP、こういうときはC、などと公式的に覚えるのは間違いのもとです。必ず自分の中にPとCの基本イメージをまず完成させて、具体的な問題でどちらをどうつかうとよいか工夫して探すように心がけてください。
まずは基本的な例題をいくつかこなしてごらんになってはどうでしょう。
質問の問題はこの力が完全に身についたか調べるという意味ではよい例でしょう。PとCを完全に自分のものにするとこんなに複雑な問題が解けるようになるのです。このレベルの問題なら解説が完全に理解できるだけでもかなり十分ですよ。がんばってくださいね。
No.6
- 回答日時:
#1です。
ひょっとして、私が最初に「M通り」のヒントをだしたもんで、つられた方が多いかな?
たぶん、出題者の意図は、「M+N/2通り」なんだとおもいますね。
(とくに、5、の「円」につながることを考えると。)
質問者さん、
#3のご回答が「PやCの解釈」としてはいちばんわかりやすいと思いますので、しっかり理解してください。
No.5
- 回答日時:
なるほど
問題文を読み直すと#4さんの解釈も、もっともです。そのほうがいいのかも。
そうすると問題文の日本語が少し変、と逃げておきます。
「この二つの並べ方は同じ並べ方であるとみなす事にすると、異なる並べ方は」
ぐらいの文章でどうでしょう。
No.3
- 回答日時:
区別がつかない時ならばその並び方で割り算してしまえば良いんですよ。
9個全て見分けが付くものとして考えた後に、実は同じじゃん!を減らすんです。
1)
A~Iの英語をならべると1×2×3×4×5×6×7×8×9通りですよね?(これをX通りとする)
でも実はA~Fが白、GとHが赤、Iが黒だった…みたいな
仮にACDEBFGHIと並んだとします
A~Fだけを見た時、これらは同じなのでA~Fまでの並び替えは考えなくても良いわけです
何が言いたいかと言うと、この場合
6個の並び替えの数で割り算してやれば良いと…
同様にGとHは逆でも同じですから
2個の並び替えの数で割り算
1×2×3×4×5×6(これをa通りとする)
1×2(これをb通りとする)
X÷a÷bが答えです→つまり9!÷6!÷2!と言う事ですね。
解らないようならばカードを作って実際試してみてくださいな。
2)
赤が2つ並ぶ→2つで1つと考えてしまうと解りやすいです
1×2×3×4×5×6×7×8通り(これをX通りとする)
白は入れ替わっても良いので
1×2×3×4×5×6(これをa通りとする)
赤は今回2つ重なっていますが実際には順番がありますが入れ替わっても同じなので考えない
と言う事でX÷aが答え
3)
赤1つと黒1つを2つで1つと考えてしまいましょう
全体は1×2×3×4×5×6×7×8通り(これをX通りとする)
白同士は入れ替わっても良いので
1×2×3×4×5×6(これをa通りとする)
赤同士は入れ替わっても良いので
1×2(これをb通りとする)
赤と黒は順番を考えると2通りある
X÷a÷b×2が答え
4)
左右対称の場合がn通りとすると「全体」-「n通り」が答えですよね?
じゃあ左右対称の時ってどんなのかを考えてみてください。
良く見ると黒1つは必ず真ん中でなければ左右対称になりません
○○○○●○○○○になります。
左右対称だから左の4つが白3個、赤1個になっていれば良い…もう答えは見えたはずです
5)
これは、「A~Iを一列に」を「A~Iを輪のように」としているだけです。
全体Xの通りが減るだけで考え方は1と同じです。
>PとCの使い方の区別の仕方
CやPは意識して使うと馬鹿になるので止めたほうが良いです。
5!÷2!を書くと面倒なのでPを使い、
(5!÷2!)÷(5-2)!を書くのが面倒なのでCを使っているだけです。
確立がビシバシ解けてから使うようにしたほうが良いかもしれません。
No.2
- 回答日時:
PとCの違いは並べるか、並べないか、ですが
この問題のように区別がつかないものを並べるときはCのほうが
やり易いときがあります。
1.玉をおく場所が9個あると考えます。黒の場所を1つ、残り8ヵ所から
赤の場所2つ選びます。残りが白です。少ないほうから考えたほうが計算は
楽です。
9C1*8C2
2.赤玉1つで考えても一緒です。
8C1*7C1
3.(赤黒)をまとめて1個として数えると
8C1*7C1
(黒赤)も同じだけあるから2倍
2*8C1*7C1
そうすると(赤黒赤)を両方で数えてしまうからその分を引く。
2*8C1*7C1-7C1
4.黒を真ん中に片側に白3、赤1を並べれば反対側は自動的に決まる。
4C1
5.どんなに円形に並べても黒の横で切り離せば、
黒を先頭に(1列に)並ぶのと同じ。
8C2
No.1
- 回答日時:
>PとCの使い方の区別の仕方 を教えてください。
お願いします!とにかく、基本に立ち返って(立ちかえる以前に、まずはじめにつかむこと?)
ヒント。
2:二つの赤玉をくっつけて「1つ」のものとして考える。
4:1こしかない黒を真ん中に置くのは決定。両側に赤1、白3があるから、片方だけ考える。
5:「端」がなくなったわけだから、1のうち,端っこのぶんをダブりとかんがえる。
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