●○積分の微分。

以下の導出過程がよく分かりません。
「d/dx∫[1→x](t-x)logtdt = ∫[1→x](t-1)logtdt」

私はこの問題を、
d/dx∫[1→x](t-x)logtdt
=d/dx∫[1→x]tlogtdt - d/dx∫[1→x]xlogtdt
=～途中計算省く
=xlogx+x-1
と解答したのですが間違っていました。
解答では、冒頭に示したように式変形をして計算していくと書いてありました。
しかしその導出方法が分かりせん。
どなたかご協力お願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2008/09/14 22:17

(1)

「d/dx∫[1→x](t-x)log(t)dt = ∫[1→x](t-1)log(t)dt」
この式は間違っています。
従ってこの式の導出は不可能です。

(2)
∫[1→x](t-1)log(t)dt=(x^2/2-x)log(x)-x^2/4+x-3/4
この式は合っています。
しかし、(1)の式が間違っているために、
d/dx∫[1→x](t-x)log(t)は
解答の
(x^2/2-x)log(x)-x^2/4+x-3/4
にはなりません。

> =xlogx+x-1
> と解答したのですが間違っていました。
この計算も正しくないですが、
正解とされる解答
> (x^2/2-x)log(x)-x^2/4+x-3/4
も間違っていますので話しになりません。

正解は
x-1-x*log(x)
です。

> d/dx∫[1→x](t-x)logtdt
> =d/dx∫[1→x]tlogtdt - d/dx∫[1→x]xlogtdt
=x*log(x) - 2x*log(x) +x-1
=x-1-x*log(x)
となります。

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2008/09/14 22:44

＃２です。

答えは＃３のかたのでよいようです

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2008/09/14 19:31

私の計算では-xlogx+xでした。

この種の計算はF(x)=∫[1→x]f(t,x)dtとしておおざっぱに
dF(x)/dx=lim[Δx→0](F(x+Δx)-F(x))/Δxを計算すれば簡単です。
=lim[Δx→0]｛∫[1→x+Δx]f(t,x+Δx)dt-∫[1→x]f(t,x)dt}/Δx
これを計算すれば
=f(x,x)+∫[1→x]fx(t,x)dt　(fxは偏微分)

ということで下記は誤りと思います。
「d/dx∫[1→x](t-x)logtdt = ∫[1→x](t-1)logtdt」

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2008/09/14 16:44

私はこの問題を、

d/dx∫[1→x](t-x)logtdt
=d/dx∫[1→x]tlogtdt - d/dx∫[1→x]xlogtdt
は良いと思います。
第二式のほうは合成函数の微分になるので∫[1→x]logtdtを計算する必要があります。
・・・で単なる計算間違い（符号）では
=xlogx+x-1　　は私が計算したところ=xlogx-x+1　でしたが・・・・。

この回答への補足

ちなみに解答ですが、
(x^2/2-x)logx-x^2/4+x-3/4
になります。

補足日時：2008/09/14 16:47