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全然わからないので、ヒントでもよいので
教えていただけると助かります。

※本に書いてある通りに書きますので、
文章の間違いなどの指摘は自分ではわかりません。
ごめんなさい。



「B空間Eの部分空間F上で定義された線形汎関数f1は、
そのノルムをあげることなくE上で定義された線形汎関数fに
拡張することができる。」

これを解くにあたり、

「部分空間F1で定義されている線形汎関数f1に対して
F1に属さないベクトルaを1つとって
aとF1の張る部分空間F2を作った時
f1をノルムを上げることなくF2上の線形汎関数に拡張できる」

ということをまず証明すると書かれているのですが、
この解き方について

「F2の元yはaとF1の元の一次和
すなわち y=λa+x (x∈F1) の形で表示されるので
f2(y)=λf2(a)+f1(x)
とf1を単に拡張してf2(a)に勝手な価を与えればよいが
これはノルムの制限が守れない」

とあります。

ここで、y=λa+xという一次和で表されるところまではわかりますが、
なぜ
「f2(y)=λf2(a)+f1(x)」
とかけるのかがわかりません。 
f2という関数がわかっていないのに、そのf2を使ってf2(y)を表すという所が疑問です。
(λf2(a)の部分)

宜しくお願い致します。

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A 回答 (1件)

> f2(y)=λf2(a)+f1(x)


ちょっと書き方がまずいというか端折ってますね。

丁寧に書けば、まず
f2(a) = f2a
と定義する。ただし、f2a は任意の価。
これをつかって、任意の y=λa+x ∈F2 に対して
f2(y) = λ*f2a + f1(x)
と定義する。
という2段階になってます。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

補足、ありがとうございます。

お礼日時:2008/09/18 14:44

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Q微分可能なのに導関数が不連続?

一般にm回微分可能でも(d^m/dx^m)f(x)は連続ではないそうですが(本で読みました。)
f(x)が微分可能で、導関数f'(x)が連続でないような関数f(x)の例を教えてください。

傾きが不連続(導関数f'(x)が不連続)なのに滑らか(微分可能)ってのがどうもイメージできないので。

Aベストアンサー

oodaiko先生とだぶってしまったので補足します。
(私が書き始めたときは回答者数0だったもので・・・)

f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) がx=0で連続でないことを示します。
すなわち、
lim(x→0) f '(x) が存在しないことを示します。
「lim(x→0) f '(x) が存在するならば
0に収束する任意の数列An,Bnについて
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) f '(Bn)
が成り立つ。」
という定理があったことを思い出してください。
An=1/(2nπ)、Bn=1/(2nπ+π/2) としますと
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) {1/(nπ) sin(2nπ)-cos(2nπ)}
 =lim(n→∞) (-1)=-1
lim(n→∞) f '(Bn)
 =lim(n→∞) {2/(2nπ+π/2) sin(2nπ+π/2)-cos(2nπ+π/2)}
 =lim(n→∞) (2/(2nπ+π/2))=0
よって、lim(n→∞) f '(An)≠lim(n→∞) f '(Bn)
「 」の定理の対偶を考えると、
lim(x→0) f '(x) が存在しない
ことが分かりますね。

ところでoodaiko先生に質問したいのですが。

>lim_{x→0} ( 2x sin (1/x) - cos (1/x))
>= lim_{x→0} 2x sin (1/x) - lim_{x→0} cos (1/x)

の部分です。
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立つのは
lim f(x)、lim g(x)がそれぞれ存在するとき
ですよね。でもlim_{x→0} cos (1/x) は存在しない・・・
実は私が読んでいた本でもoodaiko先生のように証明しているんです。
何か特殊な事情でもあって、この場合は例外的に
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立っているのでしょうか。

oodaiko先生とだぶってしまったので補足します。
(私が書き始めたときは回答者数0だったもので・・・)

f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) がx=0で連続でないことを示します。
すなわち、
lim(x→0) f '(x) が存在しないことを示します。
「lim(x→0) f '(x) が存在するならば
0に収束する任意の数列An,Bnについて
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) f '(Bn)
が成り立つ。」
という定理があったことを思い出してください。
An=1/(2nπ)、Bn=1/(2nπ+π/2) としますと
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) {1/(nπ) sin(2nπ)-...続きを読む

Q大学数学の勉強のしかた

大学で学ぶ数学の勉強の仕方に迷っています。

(1)高校までは、公式を覚える→問題演習 という流れで勉強をしていました。高校数学は、大学入試の問題が解けることがゴールだと思っていました。しかし、大学の数学は、何ができればゴールなのでしょうか?

(2)高校では、公式を覚え、問題を解いてました。大学の数学では定理、定義、命題、補題など、公式らしきものの量が多いですよね?全て覚えようとしたら相当な暗記量を強いられます。これらは全て暗記、または自力で導き出せるようにする必要があるのでしょうか?

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しかし、この方法だと、定理などの証明が理解できないことが多く、なかなか先に進みません…

以上が、勉強していく上での疑問です。どなたかアドバイスいただければ幸いです。

大学で学ぶ数学の勉強の仕方に迷っています。

(1)高校までは、公式を覚える→問題演習 という流れで勉強をしていました。高校数学は、大学入試の問題が解けることがゴールだと思っていました。しかし、大学の数学は、何ができればゴールなのでしょうか?

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Aベストアンサー

大学での学び方に関する本は何冊も出版されていますから、図書館で探されてはいかがでしょう。
 本格的な数学の学び方に関する本であれば、

伊原 康隆 (著)志学数学―研究の諸段階・発表の工夫 シュプリンガー数学クラブ
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4431711406/

数学セミナー編集部 (編集)数学ガイダンスhyper
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ブックガイド <数学>を読む 岩波科学ライブラリー 113
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000074539/

などは薄いし、大学図書館にも入っているでしょうし、一読する価値はあると思います。

 また、日本評論社の『数学セミナー』、サイエンス社の『数理科学』、現代数学社の『理系への数学』といった理系の大学生向けの数学雑誌が大学図書館に入っていないわけはないと思いますし、時期的に勉強の仕方を扱った記事も載っていると思いますから、少し時間を作って、バックナンバー含め眺められてはいかがでしょうか。

大学での学び方に関する本は何冊も出版されていますから、図書館で探されてはいかがでしょう。
 本格的な数学の学び方に関する本であれば、

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Qヤコビアン(関数行列式)について 高度な数学の質問になります

座標変換のことについての質問です。
現在、テンソル解析をしていて、
y=f(x1,x2,x3)
x=g(y1,y2,y3)
の座標変換を考えています。

この二つの座標変換が、可逆で、一対一対応していることを説明したいのですが・・・。

この際、関数行列式(ヤコビアン)が0になってしまうと、逆行列が存在せず、
逆変換が、出来なくなってしまうようなのですが、これはどうしてなのでしょうか?

そもそもヤコビアンが0になってしまうと逆変換が出来なくなると言う認識は正しいでしょうか?

ヤコビアンが0になると、逆行列が出来なくなる理由、逆変換が出来なくなる理由を、簡単でもかまいませんので、
教えてください。

Aベストアンサー

>ヤコビアンが0になってしまうと逆変換が出来なくなると言う認識

ヤコビアン≠0は、逆変換が存在する十分条件であって、必要条件ではありません。
例えば、実3次元の変換 f : (u, v, w) → (u^3, v^3, w^3) は可逆ですが、
(u, v, w) = (0, 0, 0) で ヤコビアン=0 になります。
可逆な座標変換について考察するときは、そういうモノまで含めると煩瑣になるので、
ヤコビアン≠0 を仮定して、対象を限定してしまうことが多いのです。

>逆変換が出来なくなってしまうようなのですが、これはどうしてなのでしょうか?

逆変換ができないのは、もとの変換が一対一対応でない場合です。
次数を落として1次元の場合を考えると、わかり易いのでは?
y = f (x) のヤコビアンは f ' (x) ですが、
f ' (x) = 0 となる x を含む区間では、f () の逆関数はどうなるでしょうか。
f (x) = x^2 などの具体例で考えましょう。

>逆行列が出来なくなる理由、逆変換が出来なくなる理由を

逆行列が出来なくなる理由は、ヤコビアン(=ヤコビ行列式)が0のとき
ヤコビ行列が正則でないからです。ここが難しいなら、線型代数を復習しましょう。
高校の教科書でも十分だと思います。

逆変換が出来なくなる理由は、極大雑把には、座標変換は一点の近傍では
その点でのヤコビ行列を掛ける一次変換のようなもの(~で近似できる)なので、
ヤコビ行列が不可逆なら変換も不可逆だということです。正式な定理は参考URLを。

参考URL:http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function_theorem

>ヤコビアンが0になってしまうと逆変換が出来なくなると言う認識

ヤコビアン≠0は、逆変換が存在する十分条件であって、必要条件ではありません。
例えば、実3次元の変換 f : (u, v, w) → (u^3, v^3, w^3) は可逆ですが、
(u, v, w) = (0, 0, 0) で ヤコビアン=0 になります。
可逆な座標変換について考察するときは、そういうモノまで含めると煩瑣になるので、
ヤコビアン≠0 を仮定して、対象を限定してしまうことが多いのです。

>逆変換が出来なくなってしまうようなのですが、これはどうして...続きを読む


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