ゼータ関数における諸計算で

Σ（ｎ＝1から∞）{n(1/n^s-1/(n+1)^s)}=s∫（u=1から∞)[u]/u^(s+1)duと言う等式に至る過程がわかりません。教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2008/09/26 00:01

f(x)=1/x^sとおくと

Σ(n=1～∞）{n(1/n^s-1/(n+1)^s)}
=Σ(n=1～∞){s・n∫(n～n+1)1/x^(s+1)dx｝　　（・はかけ算の意味）
ここでn<=x<n+1でn=[x]と表せるから　（<=は小なりイコールの意味）
右辺=Σ(n=1～∞){s∫(n～n+1)[x]/x^(s+1)dx｝
=s∫(1～∞)[x]/x^(s+1)dx

よって示された

スミマセン！　
ANo1は取り消します。余計な事を言ってスミマセンでした。

この回答へのお礼

おかげで助かりました。ありがとうございます。

お礼日時：2008/09/26 08:58

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2008/09/24 22:35

逆質問で恐縮ですが、問題文は合っておりますでしょうか？

Σ(n=1～∞)[1/n^s]=s∫(u=1～∞)（[u]/u^(s+1)）du　　　（s>1）

ではないでしょうか？

この回答への補足

いえ、確かにこれであっています。ご指摘ありがとうございます。

補足日時：2008/09/25 03:20