実数Rにおいて、sup{-1/x:x∈(0,∞)}=0であることを上限の定義に従って示せ。
という問題が出ました。
以下が私の考えた証明です。
任意のa∈{-1/x:x∈(0,∞)}に対し、a<0であるから、
0は{-1/x:x∈(0,∞)}の上界の1つである。
y<0とすると、Rの稠密性より、
y<z<0となるz∈{-1/x:x∈(0,∞)}が存在する。
従ってyは(0,1)の上界ではない。
以上から、0が最小上界である。
大体はいいらしいのですが、
>z∈{-1/x:x∈(0,∞)}が存在する
がちょっと問題があるみたいです。
Rの稠密性を使っても、{-1/x:x∈(0,∞)}のように、限定した集合の中にzが入ることは分からない、というのが問題みたいです。
ここが問題だということは理解できたのですが、それを証明の中にどのようにして述べればいいのかがわかりません。
回答お願いします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
補足
この質問の前のhatake333に対する「この回答への補足」に対するコメントです.
>(1)の、a<0を示すことができません。自分で図を書いて、なんとなくはわかってはいるのですが、示すとなると・・何かヒントはないでしょうか?
現在の解答も
>任意のa∈{-1/x:x∈(0,∞)}に対し、a<0であるから、
となっています.
任意に a ∈ {-1/x | x ∈ (0,∞)} をとったら,a を書き直してください.つまり,
a = -1/x となる,x ∈ (0,∞) が存在する.
ここで, x ∈ (0,∞) より,x > 0 ですので,
a = -1/x < 0
となって,
a < 0
が示されるわけです.
>(2)について,…(途中略)…εがでてきて、頭がこんがらがっている状態です。この証明もなんだかよくわからなくなってきたのですが・・
それは私のせいです,すみません.上限の定義が普通の形と違うのでしょう.
○私が前回使用した上限の定義
mが集合Eの上限
(1)∀x∈E ⇒ x≦m
(2)∀ε> 0 ,∃x∈E s.t. m -ε< x
○一般的?な上限の定義
mが集合Eの上限
(1)∀x∈E ⇒ x≦m
(2)∀m'∈E に対してm' < m ならば,∃x∈E s.t. m' < x
どちらも意味は同じですが,分かりにくかったかもしれません.
ご自分が学習された上限の定義を使って証明してください.
何度も回答してくださって、本当にありがとうございました。
わかりやすく説明していただいたおかげで、この辺の勉強は結構理解できました!
本当にありがとうございました(^∀^♪
No.3
- 回答日時:
稠密性を使わなければ良い.
任意に
y ∈ {-1/x | x ∈ (0 , ∞)}
をとると,
y = -1/x を満たす,x ∈ (0 , ∞) が存在する.
ここで,上のxに対して, (x + 1) ∈ (0 , ∞) であるから,
-1/(x + 1) ∈ {-1/x | x ∈ (0 , ∞)}
であり,z = -1/(x + 1) とすれば,
y = -1/x < -1/(x + 1) = z < 0
∴ y < z < 0
y は任意なので,0が上限である.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・14歳の自分に衝撃の事実を告げてください
- ・架空の映画のネタバレレビュー
- ・「お昼の放送」の思い出
- ・昨日見た夢を教えて下さい
- ・ちょっと先の未来クイズ第4問
- ・【大喜利】【投稿~10/21(月)】買ったばかりの自転車を分解してひと言
- ・メモのコツを教えてください!
- ・CDの保有枚数を教えてください
- ・ホテルを選ぶとき、これだけは譲れない条件TOP3は?
- ・家・車以外で、人生で一番奮発した買い物
- ・人生最悪の忘れ物
- ・【コナン30周年】嘘でしょ!?と思った○○周年を教えて【ハルヒ20周年】
- ・ハマっている「お菓子」を教えて!
- ・最近、いつ泣きましたか?
- ・夏が終わったと感じる瞬間って、どんな時?
- ・10秒目をつむったら…
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・都道府県穴埋めゲーム
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
皆さん定義を教えてください 「...
-
複雑な家庭とは
-
無限から無限を引いたら何にな...
-
日本語 ことば ひとまわり ふた...
-
1未満と1以下の違い
-
なぜ、直角三角形ではないのにs...
-
べき乗
-
√6=√(-2)(-3)=√(-...
-
「logx^2=2logx」が間違って...
-
p⇒q=(¬p)∨qについて
-
「互いに素」の定義…「1と2は互...
-
位相、開集合の定義について
-
最大公約数は必ず正の整数にな...
-
eの0乗は1ってどういう原理です...
-
2変数関数の極値について
-
自分の存在意義は、誰が、どの...
-
内積の分配法則を成分を使わず...
-
直和分解とは? 同値関係、同値類
-
0^1(0の1乗)はいくつでしょ...
-
excel vba 名前付きセルが存在...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
皆さん定義を教えてください 「...
-
無限から無限を引いたら何にな...
-
複雑な家庭とは
-
「互いに素」の定義…「1と2は互...
-
1未満と1以下の違い
-
べき乗
-
eの0乗は1ってどういう原理です...
-
「logx^2=2logx」が間違って...
-
日本語 ことば ひとまわり ふた...
-
ACCESS IIF関数 複数条件の設...
-
ACCESS VBAでインポート定義の場所
-
p⇒q=(¬p)∨qについて
-
なぜ、直角三角形ではないのにs...
-
数字の1とは何なのか?
-
1wordとは、何文字ですか?
-
ヘシアンが0の場合どうやって極...
-
P(A∩B)=PA(B)×P(A) に何故なる...
-
エクセルで「”」インチの表示形...
-
変数の宣言の名称を教えてくだ...
-
最大元と極大元の定義の違いが...
おすすめ情報