実数Rにおいて、sup{-1/x:x∈(0,∞)}=0であることを上限の定義に従って示せ。
という問題が出ました。
以下が私の考えた証明です。
任意のa∈{-1/x:x∈(0,∞)}に対し、a<0であるから、
0は{-1/x:x∈(0,∞)}の上界の1つである。
y<0とすると、Rの稠密性より、
y<z<0となるz∈{-1/x:x∈(0,∞)}が存在する。
従ってyは(0,1)の上界ではない。
以上から、0が最小上界である。
大体はいいらしいのですが、
>z∈{-1/x:x∈(0,∞)}が存在する
がちょっと問題があるみたいです。
Rの稠密性を使っても、{-1/x:x∈(0,∞)}のように、限定した集合の中にzが入ることは分からない、というのが問題みたいです。
ここが問題だということは理解できたのですが、それを証明の中にどのようにして述べればいいのかがわかりません。
回答お願いします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
補足
この質問の前のhatake333に対する「この回答への補足」に対するコメントです.
>(1)の、a<0を示すことができません。自分で図を書いて、なんとなくはわかってはいるのですが、示すとなると・・何かヒントはないでしょうか?
現在の解答も
>任意のa∈{-1/x:x∈(0,∞)}に対し、a<0であるから、
となっています.
任意に a ∈ {-1/x | x ∈ (0,∞)} をとったら,a を書き直してください.つまり,
a = -1/x となる,x ∈ (0,∞) が存在する.
ここで, x ∈ (0,∞) より,x > 0 ですので,
a = -1/x < 0
となって,
a < 0
が示されるわけです.
>(2)について,…(途中略)…εがでてきて、頭がこんがらがっている状態です。この証明もなんだかよくわからなくなってきたのですが・・
それは私のせいです,すみません.上限の定義が普通の形と違うのでしょう.
○私が前回使用した上限の定義
mが集合Eの上限
(1)∀x∈E ⇒ x≦m
(2)∀ε> 0 ,∃x∈E s.t. m -ε< x
○一般的?な上限の定義
mが集合Eの上限
(1)∀x∈E ⇒ x≦m
(2)∀m'∈E に対してm' < m ならば,∃x∈E s.t. m' < x
どちらも意味は同じですが,分かりにくかったかもしれません.
ご自分が学習された上限の定義を使って証明してください.
何度も回答してくださって、本当にありがとうございました。
わかりやすく説明していただいたおかげで、この辺の勉強は結構理解できました!
本当にありがとうございました(^∀^♪
No.3
- 回答日時:
稠密性を使わなければ良い.
任意に
y ∈ {-1/x | x ∈ (0 , ∞)}
をとると,
y = -1/x を満たす,x ∈ (0 , ∞) が存在する.
ここで,上のxに対して, (x + 1) ∈ (0 , ∞) であるから,
-1/(x + 1) ∈ {-1/x | x ∈ (0 , ∞)}
であり,z = -1/(x + 1) とすれば,
y = -1/x < -1/(x + 1) = z < 0
∴ y < z < 0
y は任意なので,0が上限である.
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