連続する番号を引く確率

以下の問題が解けなくて困っています。
誰か教えてください。

「１～16の番号が書かれたカードから
　任意の３枚を選んだときに
　少なくとも２枚のカードの番号が連続している確率を求めなさい。
　ただし、カードは１枚ずつしかなく、
　一度引いたカードはもどさないものとします。」

No.4 ベストアンサー 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2003/01/13 00:41

選ぶ３枚の組を(X,Y,Z)とすると，

１≦X＜＜Y＜＜Z≦16　である．
ただし，XとYの差が2以上であることを　X＜＜Y　のように表した．

ここで，X'＝X,Y'＝Y-1,Z'＝Z-2　として，新しい組(X',Y',Z')＝(X,Y-1,Z-2)を考えると，これは元の組(X,Y,Z)と１対１に対応し，かつ，１≦X'＜Y'＜Z'≦14
を満たす．（X',Y',Z'の差は１以上．）
すると，
　１～16から異なる３数選んだ組(X,Y,Z)の数字が連続しない場合の数
＝１～14から異なる３数選んだ組(X',Y',Z')の数字が連続してもよい場合の数
＝14Ｃ3＝14*13*12／3*2*1＝364(通り)

すると，元の選び方の総数　16Ｃ3＝560　より，
求める確率は　１－(364／560)＝7/20

この回答へのお礼

目から鱗が落ちました。
こんな考え方があるとは思いもよりませんでした。

ありがとうございました。

お礼日時：2003/01/13 22:01

No.9 回答者： kony0 回答日時： 2003/01/19 16:48

＃１さんと＃３の方法でも十分エレガントだと・・・

「１～Ｎの番号が書かれたカードから任意の3枚を選んだときに・・・」
と言う問題に対して、

隣り合う2枚の選び方(1,2),(2,3),...,(N-1,N)の(N-1)通り
これにもう1枚を選ぶ選び方(N-2)通りをかけて、
ただしこの中には(1,2,3),(2,3,4),...,(N-2,N-1,N)のN-2通りをdouble-countしているのでこれを控除すると、
結局求める選び方は(N-1)(N-2)-(N-2)=(N-2)^2通り

よって、求める確率は(N-2)^2/combin(N,3)=6(N-2)/{N(N-1)}

No.8 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2003/01/14 00:59

＃６さんのご回答に沿って，

「1～Nの連続した番号が書かれたN枚のカードから」任意の３枚を選んだときに
と一般化した場合，＃４の方針による導出は以下のようになります．

余事象を考えて

　１～Nから異なる３数選んだ組(X,Y,Z)の数字がどれも連続しない場合の数
＝１～(N-2)から異なる３数選んだ組(X',Y',Z')の数字が連続してもよい場合の数
＝(N-2)Ｃ3＝(N-2)*(N-3)*(N-4)／3*2*1(通り) ・・・(1)

一方，全体は
NＣ3＝N*(N-1)*(N-2)／3*2*1(通り) ・・・(2)

よって一般化された場合の求める確率は
１－{(1)／(2)}
＝１－{(N-2)*(N-3)*(N-4)／N*(N-1)*(N-2)}
＝１－{(N-3)*(N-4)／N*(N-1)}
＝{N*(N-1)－(N-3)*(N-4)}／N*(N-1)
＝(6N-12)／N*(N-1)
＝6(N-2)／{N*(N-1)}・・・(答)

[補足]
この解法では求める組(X,Y,Z)と1対1に対応する（数えやすい）組(X',Y',Z')を考えるのがポイントで，隣り合う数の差が３以上でも，対応はしやすいです．

No.7 回答者： good777 回答日時： 2003/01/13 20:38

*****■問題■*****************************************************

「１～16の番号が書かれたカードから
　任意の３枚を選んだときに
　少なくとも２枚のカードの番号が連続している確率を求めなさい。
　ただし、カードは１枚ずつしかなく、
　一度引いたカードはもどさないものとします。」
******************************************************************
No.4oshiete_gooさんのすごいおもしろいですね。
で、いちばんおばかの解法をしてみます。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
「3まいでどれも連続しない取り方」を求めます。

（1）3枚のうち、一番大きい数を16として、
２番大きい数を14としたとき、一番大きい数の取り方は1から12の12通り
２番大きい数を13としたとき、一番大きい数の取り方は1から11の11通り
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
２番大きい数を3としたとき、一番大きい数の取り方は1から1の1通り
よって、12×13÷2
（2）3枚のうち、一番大きい数を15として、
２番大きい数を13としたとき、一番大きい数の取り方は1から11の11通り
２番大きい数を12としたとき、一番大きい数の取り方は1から10の10通り
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
２番大きい数を3としたとき、一番大きい数の取り方は1から1の1通り
よって、11×12÷2
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
（12）
3枚のうち、一番大きい数を5として、
２番大きい数を3としたとき、一番大きい数の取り方は1から1の1通り
よって、1×2÷2

以上から,3まいでどれも連続しない取り方。

（12×13÷2）+（11×12÷2）+・・・+(1×2÷2)
＝12×13×（24+1）÷12+12×13÷4
＝13×25+13×3
＝13×28＝364

全部で16C3＝16×15×14÷6＝560

1-（364/560）＝7/20

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■答え■7/20
---------------------------------------------------------------------
一般に、
1－（ΣΣk）/（NC3）
ただし、シグマのｋは　1から（N-4）まで、となる。

この回答への補足

>（12×13÷2）+（11×12÷2）+・・・+(1×2÷2)
>＝12×13×（24+1）÷12+12×13÷4

の展開が最初わからなかったのですが
Σn^2=n*(n+1)*(2n+1)/6　と　Σn=n*(n+1)/2
だったんですね。

補足日時：2003/01/13 22:09

この回答へのお礼

ありがとうございます。

やはりこの手も問題は
「3まいでどれも連続しない取り方」の確率を求めるのが
ベターなのでしょうね。

一番地道な方法なのでしょうか
#4さんのような発想ができない限りは
これが一番ですね。

お礼日時：2003/01/13 22:07

No.6 回答者： noname#4564 回答日時： 2003/01/13 10:52

設問の最初の部分を「1～Nの連続した番号が書かれたN枚のカードから」と読み替えると、下記の計算式で一般化できるようです。

(N >= 3)

6 * (N - 2) / (N * (N-1))

この公式に N = 16 を適用すると、#2さんのご指摘どおり、

7 / 20
(35%)

となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

#7さんの
1－（ΣΣk）/（NC3）　（ただしｋ=1～N-4）
を展開すると
6 * (N - 2) / (N * (N-1))
になりました。

お礼日時：2003/01/13 22:08

No.5 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2003/01/13 00:52

#4ですが，補足です．

既にお分かりとは思いますが，最初の説明が抜けていて

まず，選ぶ３つの数字がどの２つも連続しない場合を考える．
(以下＃４の通り)
＞選ぶ３枚の組を(X,Y,Z)とすると，
＞１≦X＜＜Y＜＜Z≦16　である．
＞ただし，XとYの差が2以上であることを　X＜＜Y　のように表した．

という方針です．失礼しました．

No.3 回答者： noname#4564 回答日時： 2003/01/12 21:34

#2

> （１，２）と３
> （２，３）と１
> のように３枚連続になるものを両方で数えてしまいます。
>
> これが１４とおりありますから
> ２１０－１４＝１９６　とおりとした方がよいと
> 思います。

気が付きませんでした。ご指摘感謝。m(_ _)m

ところで、もっとエレガントなアルゴリズムはないのでしょうか？
（次の方、どうぞ(^-^;）

この回答へのお礼

う～んそうですね。
できれば数式で表せるとうれしいですね。

ちなみに任意の３枚（560とおり）は
16Ｃ3 でいいんですよね？

お礼日時：2003/01/12 23:44

No.2 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/01/12 21:06

＃１の方の回答だと

（１，２）と３
（２，３）と１
のように３枚連続になるものを両方で数えてしまいます。

これが１４とおりありますから
２１０－１４＝１９６　とおりとした方がよいと
思います。

１９６／５６０＝

この回答へのお礼

なるほど。
ということは
１９６／５６０＝０．３５
ということですね。
ありがとうございます。

お礼日時：2003/01/12 23:41

No.1 回答者： noname#4564 回答日時： 2003/01/12 20:32

16種類のカードから任意の3枚を取り出す組み合せは

16 * 15 * 14 = 3360 通り

ですが、並び替えるとおなじ組み合せになるものが6種類ありますので、

3360 / 6 = 560 通り

となります。

2枚のカードの番号が連続する組み合せは

1, 2
2, 3
：
（略）
：
15,16

の15通りあり、これに残り1枚の取り得る組み合せ（16 - 2 = 14 通り）を
乗ずると

15 * 14 = 210 通り

となります。
設問の条件に該当する組み合せ / ずべての組み合せを計算すると、

210/560 → 3/8

となりますので、3/8 (37.5%) が正解だと思われます。