電気の交流では何故虚数が必要なのですか

Question

電験3種の勉強をしている者です。
二乗するとマイナスになる虚数を学習しなければならないのですが、なぜ必要なのですか？

apple-man · Accepted Answer

No.1のご回答でなんとなく分ったと思いますが、
虚数には２つの意味があるんです。

１つは、単純に２乗するとマイナス１になるという、単なる数とい
性質で、もう１つは、数学者ガウスが発見した位相が９０度の差を
表すというものです。

＞二乗するとマイナスになる数とは・・・
実はCOS９０°の事だったんです。
COS90°×COS90°＝－１


これをさらに明確にしたのが、数学者オイラーで
一般にはオイラーの式というので有名ですが、
虚数が平面上の回転を表す性質を明らかにした
のが、高校の数学で出てくる複素数（ガウス）平面
なんです。

＞なぜ必要なのですか？

　交流の電圧が加わると、少し遅れて交流の電流が発生すると
いった性質がどこかに書いてあると思います。
この遅れ方を２次元平面に描いたとき、その（位相）差が
丁度９０度なんです。
　空間に電界を発生させると、少し遅れて磁界が発生
します。この遅れも位相差で９０度なんです。この
電界と磁界の交互の発生が空間を伝っていくのが
いわゆる電磁波、電波というものなんですが。

　つまり電気や磁気や電気回路の話で、虚数が出てくるのは、
その二乗するとマイナスという性質が、実は位相差９０度の
遅れを表すもので、これが電圧と電流、電界と磁界の
相互の関係と一致するから、これを利用すると計算が
楽になるからなんです。


（歴史的背景）
　今からおよそ２０００年前の古代ギリシャでは、
３次方程式は、答えが出せない場合があるとして
いたのですが、１６世紀ころヨーロッパで
２回かけるとー１になる数があるとすれば、
答えが出せるということが分ったんです。
これが虚数という数字の誕生です。
　その後、数直線の概念などから
虚数が平面状の位置を表すものだったら
どうゆう意味があるか、１９世紀にガウスやオイラーと
いった数学者たちが考えて、それで９０度の
回転を表していると気づいたんです。

　虚数が単なる数だと考えると、２回かけて
マイナスになる数字など存在しないということで
ウソの数、つまり虚数とか想像上の数と
いうことでイマージナリーナンバーiとか
いうことになるのですが、数直線上や
XY平面上の座標だと考えると、座標
（１，０）もあれば（－１，０）もあるということで、
Xが１のときもあれば、マイナス１のときもある
のは自然なことだと分るわけです。

　電気回路の計算に出てくる意味は、この
後半の座標的な考えの現われなんです。

noname#76137 · Answer

Basic Math FAQ
出展：　
http://www4.airnet.ne.jp/tmt/index.html
・(負)×(負)＝(正)である単純でも奥が深い理由 
・第3 の符号 
・存在感ありありの虚数  
・数の真実の姿 

ここに虚数に関する本質的理解が書かれています。
これを理解できれば数学の成績も上がりますし、
何より数学の面白さのとりこになります。

参考URL：http://www4.airnet.ne.jp/tmt/index.html

electron11 · Answer

二乗するとマイナス　何か腑に落ちませんね？　でもこれだけを取り上げては意味がありません

虚数はベクトルに繋がります
電気は他にも別な数学で表現出来ますけれどイメージを浮かべやすく解りやすくはありませんか？
矢印と角度だけで表現出来るのですから
抵抗のみでしたら不要ですがインダクタンスやコンデンサーが繋がっていたらベクトルは避けられません

私などは電気の勉強を始めた時　これはベクトルを先に勉強しないと駄目だな　と思いベクトルの本を買ってきたものです

電気回路計算には虚数が必ず出て来ます　ですから電気の理解には不可欠です
只　現場で必要な事は少ないかも知れません　でも電力計算には無効電力が出てきます　これは全（皮相）電力の虚数部分となりますから

noname#76137 · Answer

高校の数学Iでは虚数を存在しない数と私などは習ったため
（文部省の教育要綱何とかとか決まりがあるらしい）
数Iと電気工学の虚数の扱いに何故存在しない数jを
使うの？、なぜjを使っていいいの？という同じ疑問が
わきました。

その疑問は、虚数jを存在しない数と習ったことが誤りであることに
気づいたとき、氷解しました。
imaginary number i は存在しない数字なんんかではなく
存在が必須であることが、次の資料ではっきりわかります。

存在感ありありの虚数
http://www4.airnet.ne.jp/tmt/mathfaq/inumber.pdf

参考URL：http://www4.airnet.ne.jp/tmt/mathfaq/inumber.pdf

ruto · Answer

インピーダンスや電圧、電流を水平成分と垂直成分に分けて考えた方が分かりやすい場合があります。垂直成分にｊを付けて計算すると、計算がしやすいからです。水平成分aと垂直成分bがあるとすれば
その大きさは√a^2＋b^2で計算できます。
　ｊの自乗が-1と理解するのではなく、ｊをかける毎に９０°位相が進むと考えた方が理解しやすい。

mtaka2 · Answer

直流を取り扱う時は、「電圧」「電流」などはどれも普通に「電圧値」「電流値」という一つの情報だけを考えればいいので、普通の「実数」で表現して問題ないのですが、

交流を取り扱う場合には、「電圧値(あるいは電流値)」と「位相」という「二つの情報を組で取り扱う」必要があります。
それをそのまま「実数値を二つ」で表現しても計算はできますが、
「複素数」という「実数量と虚数量、二つの数値の組」で表現することで、計算が楽になるのです。

(普通の実数値は「数直線」という直線上の位置で表されますが、
複素数値は「複素平面」という平面上の位置で表されます。
この位置座標と原点との距離が「電圧値」などの大きさで、水平からの角度が「位相のずれ」を表します。)
虚数は「二乗すると-1になる」という定義の不可思議さにとらわれるのではなく、
まず「複素数は二つの数値の組で情報を表現している」ということを理解してください。

sanori · Answer

こんばんは。

学習「しなければいけない」ということではありません。
虚数を知らなくても、
sinθ　の微分は　cosθ、
cosθ　の微分は　－cosθ
を知っていれば、回路の計算はできます。

しかしながら、虚数を使う方が、回路の計算が断然楽になるのです。
これは、オイラーの公式
ｅ^(jθ)　＝　cosθ　＋　ｊsinθ
を応用したもので、
ｅ^(jθ)　を微分したものの実部はcosθの微分、虚部はｊsinθの微分になります。
ですから、わざと虚部を付け足してから微積分し、後で虚部を捨ててしまえば、通常の実数の微積分をしたのと同じことになります。

ｅ^(jθ)　を１回微分すると、ｊｅ^(jθ)
さらに、ｊｅ^(jθ)　を１回微分すると　ｊ^2ｅ^(jθ)  ＝　－ｅ^(jθ)
ここで気づかれるかもしれませんが
１回微分することと、ｊを１回掛け算することとは等価なのです。
これにより、煩雑な微積分の作業をすることなく、たとえば、工業高校の電気科の生徒でも楽々と回路計算ができる、ということになります。


ちなみに、
これは電気工学に限ったことではなく、たとえば、私の場合、液晶ディスプレイの仕事の関係で光を扱ったときに、ｅ^(iθ) を使いました。
理由は、やはり、計算が簡単になるからです。


以上、ご参考になりましたら。

電気の交流では何故虚数が必要なのですか

No.1のご回答でなんとなく分ったと思いますが、

Basic Math FAQ

二乗するとマイナス 何か腑に落ちませんね？ でもこれだけを取り上げては意味がありません

高校の数学Iでは虚数を存在しない数と私などは習ったため

インピーダンスや電圧、電流を水平成分と垂直成分に分けて考えた方が分かりやすい場合があります。

直流を取り扱う時は、「電圧」「電流」などはどれも普通に「電圧値」「電流値」という一つの情報だけを考えればいいので、普通の「実数」で表現して問題ないのですが、

こんばんは。

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