微分

「半径１の球に内接する直円錐でその側面積が最大になるものに対し、その高さ、底面の半径、および側面積を求めよ」
という問題で
直円錐の高さをｈ、底面の半径をｒ、母線の長さをＬ　側面積をＳとする。
解答では
Ｓ＝π√4h^2ー2h^3（※√は全体にかかっています）
Ｓ＾2＝π（4h^2ー2h^3)をhで微分となっていたのですが、なんで２乗したものを微分するのでしょうか？
別にＳ＝π√4h^2ー2h^3をhで微分してもいいのでしょうか？
Ｓ＝π√4h^2ー2h^3
　＝π（４ｈ^2ー２ｈ^3)^1/2
Ｓをｈで微分すると
Ｓ’＝π１/２（４ｈ＾２－２ｈ＾３）^ー1/2・（８ｈ－６ｈ^2)
　　
　　＝π（４ｈ＾２－２ｈ＾３）^ー1/2・（４ｈ－３ｈ^2)
　　
　　＝π・１/√４h^2ー２ｈ^3・ｈ（４－３ｈ）
　　
　　＝π・１/h√４－２ｈ・ｈ（４－３ｈ）
　　
　　＝π・４－３ｈ/√４－２ｈ
※√は全体にかかっています
となって解答ではＳ＾2＝π（4h^2ー2h^3)をhで微分して＝
＝2πｈ（４－３ｈ）となっているのですが、
なぜ違うのでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： owata-www 回答日時： 2008/11/21 19:46

なぜ違うのかっていえば、♯１さんもおっしゃってましたが

S^2を微分したものが2S・S'だから

別に、そのままSの微分だけでできるよ
4h^2ー2h^3＝2*h＾2*（2-h）‥‥根号内＞0より、0＜h＜2
だから、S'の√（４－２ｈ）は常に正になるので、結局はS^2を微分したものと同じ解は導けるわけ。

ただ、今回は正の範囲を扱ってるわけだから√があったりして、微分が面倒だから２乗してるってだけ

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2008/11/21 11:50

微分を使わなくても解けるんだけどね。

何でもかんでも微分というのは、感心しない。

4h^2ー2h^3＝2*h＾2*（2-h）。‥‥(1)当然にも根号内＞0より、0＜h＜2。
そこで、0＜h＜2から相加平均・相乗平均を使うと、h＋h＋2*（2-h）≧3（3）√{2*h＾2*（2-h）}であるから、4≧3（3）√{2*h＾2*（2-h）}。‥‥(2)
等号成立は、h＝h＝2*（2-h）、つまり、h＝4/3。
(2)を3乗すると、2*h＾2*（2-h）≦（4/3）＾3.　つまり、Ｓ≦π*（4/3）＾3/2.

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2008/11/20 21:47

＞なんで２乗したものを微分するのでしょうか？

別に2乗しなくても、根号の中だけ考えれば済むんじゃないの。
hの条件さえ注意すれば。

No.2 回答者： Willyt 回答日時： 2008/11/20 20:24

関数を二乗しても正の領域ではその関数を最大にする独立変数の値は変らないので計算しやすくするためです。

No.1 回答者： ghiaccio 回答日時： 2008/11/20 20:17

√(4h^2ー2h^3)のように

根号の中身全体に括弧をつけるようにしてください。

S^2を微分したものが2S・S'になることは分かりますか？