一般線型群についての質問です。

R上の２次の一般線型群を GL_（R） と表します。

GL_（R）＝｛A∈M_（R）｜det（A）≠０｝

これが可換群となる条件は何でしょうか。

No.1 回答者： rinkun 回答日時： 2008/12/05 14:39

問題設定に誤りがあると思われます。

R上２次以上の一般線形群が可換群になるとは考えられません。
可換部分群の条件か何かではないでしょうか。

この回答への補足

実際の問題は、
G＝GL＿２（R）とし、

σ∈Gについて中心化群Cent＿G（σ）を求めよ。また、Cent＿G（σ）が可換群となる条件を求めよ。という問題です。

(1)σ＝（a 0
0 b） （a, bはR＾×）

以下、問題の解き方

στ=τσとなるτを求める。
τ=(i j )とします。
( k l)

(i j)(a 0)=(a 0)(i j)
(k l)(0 b) (0 b)(k l)だから、

(ai bj)=(ai aj)
(ak bl) (bk bl)より、

a≠0、b≠0だから、
a≠bのとき、k=0,j=0となり、

τ=(i 0)
(0 l) です。(i,jは0以外の任意の実数。iとjどちらか0なら、|τ|=0になるので不適。)

Cent＿G（σ）={(p 0)|p,q∈R^{×}}
(0 q)

これが可換群になるには、A,B∈Cent＿G（σ）に対して、AB=BAが成り立てばいいので、
A=(s 0)
(0 t)

B=(u 0)
(0 v)とすると、

AB=(su 0)
(0 tv)
BA=(su 0)
(0 tv)となり、AB=BAなので、 Cent＿G（σ）はいつも可換群。

a=bのとき、i,j,k,lは|τ|=il-jk≠0となる任意の実数で成り立つので、Cent＿G（σ）=GL＿２（R）となります。

これが可換になる条件を知りたいのですが、・・
ここまでで、間違っているところがあれば教えてほしいのですが

補足日時：2008/12/05 15:47