「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

楕円 m x^2 + n y^2 = A をX軸のまわりに回転させて得られる回転体の体積を求めたいのですが、どうすればいいのでしょうか?
助言おねがいします。

A 回答 (5件)

一応 #3 を訂正しておくと, 今の場合は回転楕円体だけど一般には楕円体で OK. まあ, いずれにしても「3軸の長さ」がわかれば体積は積分するまでもないんだけど.


4x^2 + 9y^2 = 36
ってことは x軸方向の長さが 3, y軸方向が 2 ですね. これを x軸まわりに回転させるから z軸方向は y軸方向と同じく長さ 2. 従って体積は
(4π/3)×3×2×2 = 16π
のような気がする.
    • good
    • 1
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
確かにこの方法なら積分をしなくても体積が求められますね。
それになんとなくですが理解もできました。ありがとうございました

お礼日時:2009/01/06 00:11

#2です。


A#2の補足
>積分が全くと言う程できないのです。
そうですか?

V=2π∫[0,a]b^2{1-(x^2/a^2)}dx
 =2πb^2[x-(1/3)x^3/a^2] [0,a]
=2πb^2(2/3)a
=(4/3)πab^2
>本来の問題は 4 x^2 + 9 y^2 = 36 なのですが、
x^2/3^2+y^2/2^3=1
>a=3 , b=2 
これを上のVに代入すると
V=(4/3)π*3*2^2=16π
>積分結果が約12π(≒970π/81)
なので、これは間違いで、他の回答者の答にもありますが
V=16π
が正確な答です。

積分も出来るようにして下さい。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

何度も回答を頂き恐縮です。
積分は苦手ですが自分の力で出来るようになるまで頑張ります。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/01/06 19:45

回転楕円体になるから, 3軸の長さがすべて分かれば球の体積から計算できる.... 積分する必要もないけど反則?

    • good
    • 0

楕円なのでm>0,n>,A>0とし


A/m=a^2,A/n=b^2…(A)と置くと楕円の標準形
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
になります。
楕円のX軸の周りの体積Vは回転体の体積の公式から
V=π∫[-a,a]y^2dx
=2π∫[0,a]b^2{1-(x^2/a^2)}dx

これは簡単に積分できますね。
積分後(A)の関係式からa^2,b^2を出して代入すれば答がでます。

あとは自力で出来ますね。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

自分で解いてみたのですが、いま一つ納得できる答えが得られませんでした。

本来の問題は 4 x^2 + 9 y^2 = 36 なのですが、
a=3 , b=2 積分結果が約12π(≒970π/81)
という結果でした。

お恥ずかしい話なのですが、積分が全くと言う程できないのです。
誤りがあれば指摘していただければ嬉しいです。

お礼日時:2009/01/05 21:23

x=kで切った断面の面積を求めて、それを積分すればいいかと

    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q楕円の回転体の体積を求める問題なんですけど、、

「楕円:Xの二乗+1/2(Y-1)の二乗=1
 の内部で、Yが0以上にある部分をX軸の周りに回転して得られる立体の体積  を求めよ」

という積分により体積を求める問題です。
スタンダードという解説が非常に不親切な問題集に載っているもので、また、
積分の計算過程などもよく分かりません。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

[#1の補足]

計算の都合上
V/(2π)=・・・=∫_(θ=π/2 to θ=-π/4)y^2dx ・・・(1)
(1)=・・・=∫_(π/2 to -π/4){1+(√2)sinθ}^2(-sinθ)dθ [・・・(2)とします]

ともってきていますので, 求めるVは(2)を計算したあとで, 分母2πを払ったもので合うはずです.[立式等が誤っていなければ.]
V=2π×[(2)式の値]

答えるときはご注意ください.でも実際の計算の上では(好みはありますが)有力な方法です.


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング