抵抗1オームの素子が2次元の格子状に接続され無限に広がっている。
このとき隣接する2つのノード間の合成抵抗を求めなさい。

この問題を学生のころ無理やり解こうと思ってメッシュ解析をやったんですが
サフィックスが多すぎて挫折しました。
ヒントによれば暗算でもできるそうです。気になるんでその後も時々考えるんですがうまくいきません。多分有名な問題だと思うのですが解き方を教えてもらえませんか?

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A 回答 (3件)

 格子の無限に遠いところを接地します。

1つの端子に電圧V/2をかけるとき流れる電流をIとすると対称性から4方へ均一に、すなわち、I/4ずつ流れます。一方、今度は、その隣の端子に、-V/2だけ電圧をかけると、
同様に、I/4(向きも合わせて)だけ電流が流れます。あとは重ね合わせの原理で電圧Vを掛けたときひとつの抵抗1に電流I/2が流れるのですからV=1×I/2=R×Iより、R=1/2となります。

無限大の格子を繰り込んで計算する(1次元の問題のように)と、どう回路を切り刻んでも上手くいきません。でも重ね合わせの原理を使うとこんなに上手くいくんですね。
物理の問題で、近接格子間を等確率で移動する電子のグリーン関数を求める問題では、問題を1次元化して繰り込んで解決するような方法があったと思いますがこんなに簡単ではなかったので、この線のアプローチは暗算ではむりかな?と思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
なるほどそう考えるとうまく行くんですね。
でも一つ疑問があります。前段で任意のノードに電圧V/2をかけますね。
このとき電流の流れる先は無限遠点になるわけですから当然抵抗も無限大。それでも電流が流れると考えて良いのでしょうか?
電気系出身者にしてこの愚問ちょっと恥ずかしいですがよろしければご教示ください。

お礼日時:2001/03/01 21:16

フォローが短かすぎて不親切だったかと思いましたが、


ご理解いただけたようですね。実は、かくいう私もあの
問題は、頭では理解できても、心で納得できていないと
いう状態です。(笑い)。

しつこく回答を求めるのが失礼かということですが私は
全くそうは思いません。このOKWEBの有用性は私が
今更申し上げるまでも無いと思います。

せっかくの回答を得ても、まだ、理解しずらい時、再度、
回答要求することは、このOKWEBの価値を高める事
だと思います。
また、仮に、失礼が有ったとしても、回答者は「無視」
という奥の手が有るのですから。

いろんな例を見ていますと、質問の不備、回答者の勘違
い、誤解、すれ違いなどが多発しています。
でも何回かやりとりして大体収束しています。

ただ、この欄が、宿題やレポートの家庭教師的に濫用さ
れているのは残念です。もっと自分で調べたり、自分で
考えたりする必要が有ると思います。せめて、ヒントや
考え方だけを得るレベルに止めたいですね。

今後ともよろしくお願いします。
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この回答へのお礼

大変、丁寧なご説明痛み入ります。私はgooから入った者ですので、使い方。運用の心得など分からないことが多いのです。その意味で大変勉強になりました。
また、ymmasayan様でも「頭では理解できても、心で納得できていないという状態です」とは心強いです。(失礼!)
さて、この問題は私なりに考えて一応理解したつもりです。まわりくどい考え方になるのですが、下記します。
問題の回路を無限遠点をGND、隣接する2端子A,Bを入力とする2ポートと考え、T型等価回路を想定します。Tの中心を仮想ノードXとします。Tの横棒部分の2つの抵抗は対称性から等しくなるので、Zxとします。Bを開放した場合、BとXは等電位になります。この状態でZxを考えるとAからBと等電位な全ての点までの並列抵抗に等しくなり、1/4オームです。
求めたいA,B間の抵抗はZxの2倍ですから1/2オームになる。ということです。
 自分で読み返すと結局motsuan様のお答えの言い換えに過ぎないのですが、理解の仕方は人それぞれと言いますし、誰かの参考になればと思い書いてみました。
回答者の皆さま、本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/03/04 15:16

再質問に対して回答者の方からフォローが無いようなので、


私がフォローさせて頂きます。
まず無限点は全部接地するという前提です。(無限の数)
無限に遠いので、直列の抵抗はおっしゃるとおり無限大です。
しかし、並列になっている数も遠くに行くほど無限大になります。
この合成で、有限の抵抗値に落ち着くわけです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。私初心者なもので、あそこでしつこく回答を求めたのは
とっても失礼だったのではないかと後で考えるとひやひやしてました。
motsuan様すみませんでした。
ymmasayan様フォロー感謝します。仰る通りですね。私の考え不足でした。自分で納得するまでもう少し考えます。ですのでこのスレッドは今しばらく開けておきます。ご容赦ください。

お礼日時:2001/03/03 00:19

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その2.
AG間に電流Iを流す。
対称性から、AB,AD,AEには等分に電流I/3が流れる。
同様にBからC,Fへも等分に電流I/6が流れ、F,H,CからGへも等分に電流I/3が流れる。
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という具合に計算できるかと思います。

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RΩの短い線材があるとします。この線材を多数つないで餅焼き網状の正方格子を作ると思ってください。むろん格子の一辺だけ切り出すとRΩですが、切り出さないときの抵抗値はいくらかという問題です。
つまり、
餅焼き網は無限に広がっているとして、この餅焼き網の格子の一つの辺の両端間の抵抗値を測定したらどういう値かという問題です。これが解けないのです。
(どうもうまく図が描けませんので相済みませんがイメージしてください)

http://virus.okwave.jp/kotaeru.php3?q=2070184 のような一次元の話は特に問題なく片づける程度の基本知識はあるつもりですが、その二次元版になるとどうも別の世界の話になるようで、とっかかりが掴めないのです。

レポート課題ではありません。昔米国出張したとき向こうの会社を代表する優秀な回路技術者と雑談したのですが、そのとき「君はこんなの解けるかね」と提示された問題です。対称性を利用して問題を簡単化できるだろうと思ったので「帰ったら解いて答えを送るね」と軽く受けちゃったのです。ところがなんとも私には手強いと気がつき、そのうちわかるかもということでそのままにしていました。最近思い出してしまって気になっているのです。電気回路の基本問題の一つであるような気もするのですが、解き方の糸口すら見いだせない自分が口惜しいわけで、ご指導お願いします。

RΩの短い線材があるとします。この線材を多数つないで餅焼き網状の正方格子を作ると思ってください。むろん格子の一辺だけ切り出すとRΩですが、切り出さないときの抵抗値はいくらかという問題です。
つまり、
餅焼き網は無限に広がっているとして、この餅焼き網の格子の一つの辺の両端間の抵抗値を測定したらどういう値かという問題です。これが解けないのです。
(どうもうまく図が描けませんので相済みませんがイメージしてください)

http://virus.okwave.jp/kotaeru.php3?q=2070184 のような一次元の...続きを読む

Aベストアンサー

重ね合わせ使って、以下の手順で計算できたかと思います。
(「楽しめる物理問題200選」は持っていませんが、多分類字の手順ではないかと想像しています。)

一辺の両端をA,Bとする
1. Aから電流をI流し込む(Bは開放)。すると、対称性からAから四方にI/4ずつ電流が流れる
2. Aを開放し、Bから電流を-I流し込む(BからIだけ流し出す)すると、Bから四方に-I/4ずつ電流が流れる
3. A,B同時に電流源を繋いだとき、AB間の辺にはI/2だけ電流が流れて電圧降下はRI/2
4. よって、AB間の抵抗はR/2

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>下記の所への追加が並列になる説明を考えてみます
『並列』という書き方はよくなかったですかね^^;

直感的には、
「抵抗」というのは、「電流の流れにくさ」を表す値です。
#4に書いた各ステップごとに、電流が流れるルートが増えていくので、全体の抵抗は単調に減少していくはずですよね。(もちろん、変わらない場合もあるでしょうが、電流が流れにくくなるはずがありません。)



各抵抗にR_i (i=1,2,・・・)と番号をつけます。
問題ではR_i=Rという事になっていますが、各R_iは可変抵抗であると考えても、合成抵抗を考える事ができます。この場合、合成抵抗rは
r(R_1,R_2,R_3,・・・)
の形で表されるはずです。

この時、任意のR_iに対して、∂r/∂R_i≧0が成り立つのは明らかだと思います。
(数学的にどう証明すればいいかよく分かりませんが、キルヒホッフの法則とかを使って証明できるんじゃないかと思います。)

#4に書いたような「抵抗をつけくわえる」という操作は、
「対応する可変抵抗の抵抗値を∞からRに変える」という操作と等価です。∂r/∂R_i≧0を考えれば、「対応する可変抵抗の抵抗値を∞からRに変える」という操作によって、合成抵抗rは減少する(もしくは変わらない)という事になります(よね?)。

>下記の所への追加が並列になる説明を考えてみます
『並列』という書き方はよくなかったですかね^^;

直感的には、
「抵抗」というのは、「電流の流れにくさ」を表す値です。
#4に書いた各ステップごとに、電流が流れるルートが増えていくので、全体の抵抗は単調に減少していくはずですよね。(もちろん、変わらない場合もあるでしょうが、電流が流れにくくなるはずがありません。)



各抵抗にR_i (i=1,2,・・・)と番号をつけます。
問題ではR_i=Rという事になっていますが、各R_iは可変抵抗であると考...続きを読む

Q回路の対称性の考え方

よろしくお願い致します。高校物理です。今、特に対称性のある回路について勉強していますがわからないことがあります。

問題
抵抗値rの抵抗線を図のように8本つなぎ、起電力Vの電池を接続した。
Ac間の電流と回路の全抵抗Rを求めよ。

回路は下のとおりです。
           b 
         / | \ 
電池(V)― a -  c―  e ― 電池(V)にもどる
         \ | / 
           d 

わかりにくい図ですが、a, b, c, d, eはすべてつながっています。a, b, e, dを頂点としたひし形で、対角線が入った状態です。そしてその8本のひし形の辺と対角線がすべて抵抗値rの抵抗線でつながれています。

解説では、これをキヒルホッフの法則で解くために、電流を文字でおくのですが、その際に回路の対称性を利用しているらしいのですが、私は、回路の対称性というのが、いまいちよくわかりません。
解説では、回路の対称性より、電池からでるのが、I.
a-b間とa-d間をI2
a-c間をI1
c-b間とc-d間をI3
b-e間と、d-e間をI2+I3
c-e間をI1-2I3とおいています。
ここで疑問なのは、回路がどこを軸にして対称と考えるかということです。
普通数学だと、x軸やy軸に関して対称といいますが、このような回路では、どこが軸になるのでしょうか?
a-eが軸でしょうか?それとも、b-dが軸?
また、私が解説について疑問に思うのはどうして、a-b間とa-d間はI2とおいたのに、a-cだけ違うおき方なのでしょうか?三つともおなじではないのでしょうか?だから、a-b, a-d, a-cともに1/3Iとでもおいたらいいと思うのですが・・・a-cを軸とみているからですか?
同様に、b-eとd-eが同じなのに、c-eだけ違うのも疑問です。

実際、これを解くと、I1=I2=V/2r, I3=0となり、
a-b, a-c, a-dは同じになります。同様に、b-e, c-e, d-eも同じになります。
それなら最初から、a-b, a-c, a-dそして、b-e, c-e, d-eも同じ文字でおけばいいと思いますが、それでもよいでしょうか?
それともこの問題だけたまたまa-b(a-d)とa-cが等しくなっているのでしょうか?

長くなってしまいましたが、
○回路の対称性というのが、何を軸にして対称と考えればいいのか、
○未知の文字を置く際に、どのようにおけばいいのか教えていただけたらと思います。
補足が必要であればさせていただきますので、よろしくお願い致します。

よろしくお願い致します。高校物理です。今、特に対称性のある回路について勉強していますがわからないことがあります。

問題
抵抗値rの抵抗線を図のように8本つなぎ、起電力Vの電池を接続した。
Ac間の電流と回路の全抵抗Rを求めよ。

回路は下のとおりです。
           b 
         / | \ 
電池(V)― a -  c―  e ― 電池(V)にもどる
         \ | / 
           d 

わかりにくい図ですが、a, b, c, d, eはすべてつなが...続きを読む

Aベストアンサー

>それなら最初から、a-b, a-c, a-dそして、b-e, c-e, d-eも同じ文字でおけばいいと思いますが、それでもよいでしょうか?

図から見る限り、a-c-eについて対称です。cとb、dとは異なっています。出ている線の数で考えるとわかりやすいでしょう。b、dからは3本出ていますがcからは4本出ています。

電流I1とI2が等しくなったのは全ての抵抗が等しいとしたからです。対称性からではありません。Rab=Rad≠Rac、Rbe=Rde≠Rceの場合やはりbとdが対称というのは成り立っています。この場合はIab=Iad≠Iacです。

全ての抵抗が等しいという場合であれば次の様に考えても電流が等しいということが出てきます。
cb、cdを外します。
この場合ab、ac、adは全く対等です。b、c、dからは全て2本出ています。b、c、dの電位は同じです。ここで結線cb、cdを入れます。同じ電位のところを結んでも電流は流れません。

Qオシロスコープで位相をみる方法を教えて下さい。

ある2つの信号の位相がそろっているのかそろっていないのかを
オシロスコープで調べたいのですが、どうすれば良いのでしょうか?
例えばファンクションジェネレータを使って10 kHzの正弦波をオシロスコープを入れた状態でファンクションジェネレータでその正弦波を位相を動かしたとしても、
オシロスコープでは正弦波は横に動きません。
これはどうすれば位相も考慮して画面に表示してくれるようになるのでしょうか?

Aベストアンサー

オシロスコープの波形の描きはじめの位置は、トリガーの指定によります。
AUTOの場合、波形のレベルと傾きにより決まります。
したがって、入力信号の位相を変えても、表示される波形は
横にずれないわけです。
2つの信号を入力チャネルCH1とCH2に入れて、画面の上下に
表示します。これが2現象表示ですよ。
基準としたい信号の方のチャネルをトリガー源として選び、
トリガーレベルのつまみを調節して、波形を同期させます。
そうすれば、2つのチャネルの波形のずれが見えるはずです。
細かく見たい時は、表示の縦方向位置を調節して、重ねて見えるように
する。スキャンの周波数を上げて、時間軸を拡大すればよいでしょう。
位相角は、信号の周期Tと2つに信号の時間差tから
 θ=2πt/T (ラジアン)で求められます。

他には、X-Y表示にして、楕円の形から位相を求める方法も
あります。これは、多分他の方の回答にあるでしょう。

Q合成抵抗について

各稜のみに等しいインピーダンスZが接続されている場合に、立方体回路で稜の両端の節点間のインピーダンスZの求め方を教えてください。

Aベストアンサー

立方体の図を書いてください。
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点Aからつながる辺の端点(B以外)をCとDとしましょう。
また、点Bからつながる辺の端点(A以外)をEとFとしましょう。
すると、ABに電圧を印加したとき、対称性からCとDは同電位、
EとFは同電位となることがわかります。したがって、
同電位の点をつないでも、電流分布は変わりません。
このようにすると、立方体の回路が、梯子型の回路になります。
これは直並列回路ですので、後は簡単でしょう。
答えは、1辺の抵抗をRとすると、(7/12)Rとなります。


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