”Aを始点、Bを終点として1筆書きする方法の数を求めよ。”
という問題ですが、
A-ΘΘΘ-B
(分かりにくいかもしれませんが、上の行にある"A"と"B"は直線で結ばれていて、"Θ"どうしはくっついています)
問題の解説では、下の図のようにC、D、E、Fと地点を決めて、まずC-D間には3本の道があるので、3!(6通り)あって、D-E間、E-F間についても6通りずつあると解説されています。
図 A-ΘΘΘ-B
↑↑↑↑
C D E F
この解説は理解出来て、最初も私は、上の結果と同様に6×6×6=216通りと思いましたが、まだカウントするものがあって、それは、
「地点D、EについてはAから出発した後始めてその地点に来たとき、すぐに左方向に引き返すか、右方向に進むのか2つの場合がある」とあり、
答えは6×6×6×2×2=864通りでした。
なぜはじめて、地点D、Eに来たときすぐに左方向に引き返すか、そのまま右方向に進む2つの場合もカウントの対象になるのかが理解出来ません。
分かる方がいらしゃたら、お教え願えませんでしょうか。
宜しくお願いいたします。
【引用】東京出版「マスター・オブ・場合の数」
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
≫4回通過する場合が有ると思いますが。
ありえません、DとEは6本の線が出ています。一回通過すると2本消費され、残りは必ず4本、もう一度通過すると、残りは2本ですね。もし4回通過するなら線は8本必要になります。でないと一筆書きという条件を外れる。
★CD間の通り方は、6通りです。
★CD間の通りいかんに関わらず、一度はDを通過するのでDを通過するとき、先にEに進んでも構わない。・・・CDを済ますか、DEを先にするかの二つの選択肢が加わる。
いずれを選択しても、CD間の通り方には影響しない
=独立している。ここが重要
★これと同じ事が、Eについてもいえる。
よって、1 × 6 × 2 × 6 × 2 × 6 × 1
A-C C-D D D-E E E-F F-B
大変失礼いたしました。
本当にスミマセン。
どうやら私は、一筆書きの描き方が分からなかったのが原因で、奇妙な質問をしてしまったようです。
ですが、結果的に確実に理解できました。
そして、丁寧な解説をしていただいて有難うございました。
No.4
- 回答日時:
一度書いたのですが、やはり分かりにくそうなので、簡単に理解できる方法を考えてみました。
左からサークルイロハと記号を付けておきます。
CからDへの経路は6通り、これは最終的にDで終わるなら正しいのですが、ポイントはDを経由した場合、Dはあと2回経由しなければならない。
すなわち、イを消化せずに(Cに戻らずに)Eに向かう選択肢があるということです。Eに向かった場合もDには再度戻ってきますから、そのときにCに戻ればよいだけです。
D点とサークル(イ)との関係は、いずれを選択しようと6通りあります。その6通りについて、すべてそのままEに向かう方法と、先にサークル(ロ)に向かう二通りある。
★(ポイント:どちらに向かおうと、CからDへの組合せと独立している)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
これは、Eにおいても、成り立つ=左右対称なので=ので、都合×2×2としなければならない。
これなら分かるかな・・・・
すみません。この回答が'OKURA1951'さんからの回答だと、今気ずいてしまいました。
再三にわたり、丁寧な解説、誠を持って感謝いたします。(礼
No.3
- 回答日時:
>まずC-D間には3本の道があるので、3!(6通り)あって、D-E間、E-F間についても6通りずつあると解説されています。
>最初も私は、上の結果と同様に6×6×6=216通りと思いました
この「216通りだけ」では「CD間の3本をすべて通り終わってから、DからE方向に進み、DE間の3本をすべて通り終わってから、EからF方向に進んだ時」だけしかカウントしません。
しかし、実際には
・CD間の3本の道を全部通ってからE方向に進む
・CD間の3本の道のうち1本だけしか通ってないのにDからE方向に進む
と言う2通りと
・DE間の3本の道を全部通ってからF方向に進む
・DE間の3本の道のうち1本だけしか通ってないのにEからF方向に進む
と言う2通りがあるのです。
つまり
・CD間の3本の道を全部通ってからE方向に進み、DE間の3本の道を全部通ってからF方向に進む
・CD間の3本の道を全部通ってからE方向に進み、DE間の3本の道のうち1本だけしか通ってないのにEからF方向に進む
・CD間の3本の道のうち1本だけしか通ってないのにDからE方向に進み、DE間の3本の道を全部通ってからF方向に進む
・CD間の3本の道のうち1本だけしか通ってないのにDからE方向に進み、DE間の3本の道のうち1本だけしか通ってないのにEからF方向に進む
で4倍に増えます。
つまり
・始めてD地点に来たとき、すぐに左方向に引き返す=CD間の3本の道を全部通ってからE方向に進む
・始めてD地点に来たとき、右方向に進む=CD間の3本の道のうち1本だけしか通ってないのにDからE方向に進む
・始めてE地点に来たとき、すぐに左方向に引き返す=DE間の3本の道を全部通ってからF方向に進む
・始めてE地点に来たとき、右方向に進む=DE間の3本の道のうち1本だけしか通ってないのにEからF方向に進む
の4通りがあるので4倍する、と言う事。
回答有難う御座いました。
つまり、A地点から出発して、D地点に達した場合に2通りあって、又、A地点から出発して、E地点に達した場合に2通りがあって、
2+2=4通りがあるので、4倍になるってことで宜しいんですよね。
本当に有難う御座いました。
No.2
- 回答日時:
一筆書きの問題は、一筆書きの原理・・・開始点と終点を除いたすべての点に置いて、偶数の線が必要。
言い換えると、CとDについては、その点に4つの線が出ていますが、DとEについては、6本の線が出ています。
ということは、CとFについては2回通過するが、DとEについては3回通過する必要がありますね。
単純な二つ団子の形で実際にやってごらん・・・36通りじゃないから、二つ団子の間ではも引き返さずに次の団子に進んでも、書けますよ。
一筆書きの一般論、感服いたしました。本当に有難い情報です。
ただし、場合によってはDとEについて4回通過する場合が有ると思いますが。
例えば、3つの団子の中の2番目について、最初に一筆書きした場合と、3番目について最初に一筆書きした場合です。
それで、宜しいですか?
No.1
- 回答日時:
>まずC-D間には3本の道があるので、3!(6通り)あって、D-E間、E-F間についても6通りずつあると解説されています。
これは、3本の道を通った順番です。別に直後に通らなくてもいいです。
例えば、CーD間に三本の道α、β、γがあったとして、直後かどうかではなく通った順番(α→()→β→()→γ)(β→()→α→()→γ)…を考えます。これは3!=6通りずつあります。
次に、C-D-E-Fをどのように通って行ったかです
A→C→D→E→D→C…
A→C→D→C→D→E…
このやり方が、2×2=4通りになるわけです。
拙い説明かもしれませんが、お分かりでしょうか?
回答有難う御座います。つまり
>A→C→D→E→D→C…
>A→C→D→C→D→E…
の場合は、Dで始めて右に行くか、左に行くかの場合の2通り。
あとは、
A→C→D→E→F→E…でEで始めて右に行くかの場合、
A→C→D→E→D→E…でEで始めて左に行くかの場合の
2通りあって、2+2=4通りある、という認識に至りました。
有難うございました。
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