正五角形の作図と証明

正五角形の作図ですが、いまいち解りません。宜しければ、回答ください。また、出来れば、その作図が成り立つ証明も教えてください。参考ＵＲＬも添付してくれれば、嬉しいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： Mell-Lily 回答日時： 2003/02/09 00:24

正五角形の作図は、円分方程式

　x^5=1 …(1)
を解くことに帰着します。(1)は、
　(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
　∴ x=1, x^4+x^3+x^2+x+1=0
　∴ x=1, x^2+x+1/x+1/x^2+1=0 …(2)
と同値です。
　t=x+1/x
とおけば、
　t^2=x^2+1/x^2+2
　∴ x^2+1/x^2=t^2-2. …(3)
(3)を(2)に代入すれば、
　t^2+t-1=0
　∴ t=(-1±√5)/2.
ここで、
　t=(-1+√5)/2
なら、
　x+1/x=(-1+√5)/2
　∴ x^2-{(-1+√5)/2}x+1=0
　∴ x=(1-√5)/4±√(10+2√5)i/4. …(4)
また、
　t=(-1-√5)/2
なら、
　x+1/x=(-1-√5)/2
　∴ x^2+{(1+√5)/2}x+1=0
　∴ x=(-1-√5)/4±√(10-2√5)i/4. …(5)
したがって、(4),(5)の四つの数と
　x=1
が、正五角形の頂点の座標になります。すなわち、単位円を書き、直線
　x=(-1+√5)/4
を作図すれば、
　(1,0)
と合わせて、二つの頂点を得ることができます。

この回答へのお礼

どうも、ご丁寧にご回答有り難う御座いました。
半分ぐらい理解できたように思います。

お礼日時：2003/02/09 22:14

No.2 回答者： pureh 回答日時： 2003/02/08 21:46

下記参考ＵＲＬ、

Ｎｏ．２(a-kuma)　のリンクをたどってみてください。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=404686

No.1 回答者： gamasan 回答日時： 2003/02/08 21:45

過去にありますね　そこを参考にどうぞ

参考URL：http://odn.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=404686