ラグランジュの補間について

ラグランジュの補間の導出にて
多項式近似にて近似式をＰｎ（ｘ）とすると
ｘとｆ（ｘ）が既知の場合

Ｐｎ（ｘ）＝Σｆ（ｘｋ）Ｑｋ（ｘ）
　　（ｋ＝０，１，・・・・ｎ）

のように仮定して未知関数Ｑｋ（ｘ）を求めますが、
イメージがわきません。
どうして、このように仮定するのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： gef00675 回答日時： 2009/03/06 10:04

Pn(x)はn次の多項式なので、n+1個の係数を持つ。

素朴に考えると、n+1個の点における値を
f(xk)=Pn(xk)、(k=0,1,...,n)
のように指定した連立方程式を解けば、Pn(x)の係数が定められる。x0,x1,...,xnのどの２つも異なっていれば、そのような係数はただ一通りに定まる。しかし、そのような連立方程式を解かなくても、簡単にPn(x)の形を決めることができるというのがラグランジュの補間多項式。

Qk(x)をn次の多項式として、
Qk(x0)=Qk(x1)=・・・=Qk(x(k-1))=0
Qk(xk)=1
Qk(x(k+1))=・・・=Qk(xn)=0
を満たすようなものを考える。そのようなQk(x)を求めるには、xにそれぞれの値を代入してできた連立方程式を解いても得られるが、Qk(x)の形を次のようにおくとよい。
k=0のとき、Q0(x)=a0(x-x1)(x-x2)(x-x3)・・・(x-xn)
k=1のとき、Q1(x)=a1(x-x0)(x-x2)(x-x3)・・・(x-xn)
k=2のとき、Q2(x)=a2(x-x0)(x-x1)(x-x3)・・・(x-xn)
・・・
たとえば、k=0の場合を見てみると、明らかに
Q0(x1)=Q0(x2)=・・・=Q0(xn)=0
Q0(x0)=a0(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)・・・(x0-xn)
したがって、a0=1/( (x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)・・・(x0-xn) )
とおけば、Q0(x0)=1になる。他のQk(x)も同様。そのようなQk(x)を用いて
Pn(x)=Σf(xk)Qk(x)
を作ると、Pn(x)はn次式であるから、これが目的の多項式になる。実際、x=x0を代入すれば
Pn(x0)=Σf(xk)Qk(x0)
=f(x0)Q0(x0)+f(x1)Q1(x0)+f(x2)Q2(x0)+・・・+f(xn)Qn(x0)
=f(x0)・1+f(x1)・0+f(x2)・0+・・・+f(xn)・0
=f(x0)
他のx=xkについても同様に、
Pn(xk)=f(xk)
が成り立っている。

この回答への補足

早速のご回答ありがとうございます。
フーリエでもテイラーでもｘに対しての近似多項式となりますが
ラグランジェ補間ではｆ（ｘ）に対しての多項式となるのが、
わかりませんでした。
Ｐｎ（ｘ）＝Σｆ（ｘｋ）Ｑｋ（ｘ）と仮定すればの
なぜそう仮定するのかが理解できませんでした。
その後はご指摘のとおり解けるのですが。
勉強不足で申し訳ございません。

補足日時：2009/03/06 20:48

この回答へのお礼

すみません。
お礼と回答への補足を間違えました。

改めて、ありがとうございました。

お礼日時：2009/03/07 05:50

No.3 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/03/06 23:29

>Qk(x) をよく眺めてください。

たとえば k=0 の場合、

　　　　　　(x -x1)(x -x2)…(x -xN)
　Q0(x) = -------------------------
　　　　　　(x0-x1)(x0-x2)…(x0-xN)

ですね。

>xk 以外の xi (i≠k) ではゼロ、xk では 1 になりませんか？ うまく作ったものです。

・ m≠0 なら、Q0(xm) = 0
　何故ならば、(xm-x1)(xm-x2)…(xm-xN) のどれかが (xm-xm) = 0 だから。
・ m = 0 なら、Q0(xm) = 1
　何故ならば、分母と分子が同じになるから。

…というわけです。
　

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ラグランジェの未定乗数法でも
ｘ０、ｘ１、・・・ｘｎ　を
ｘ０＋λ０、ｘ１＋λ１、・・・ｘｎ＋λｎ
として導出していますが、面白いですね。

お礼日時：2009/03/07 05:47

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/03/06 09:05

Qk(x) をよく眺めてください。

xk 以外の xi (i≠k) ではゼロ、xk では 1 になりませんか？ うまく作ったものです。
　

この回答への補足

早速のご回答ありがとうございます。
クロネッカーのデルタは
フーリエ展開などでａｋ、ｂｋの係数を求める方法として
十分イメージできるのですが、整級数展開ではｘに対しての
多項式となりますが、ラグランジュ補間ではｆ（ｘ）に対しての
多項式となっています。
勉強不足で申し訳ございませんが、その辺の意味がわかりません。

補足日時：2009/03/06 20:30

この回答へのお礼

すみません。
お礼と回答への補足を間違えました。

改めて、ありがとうございました。

お礼日時：2009/03/07 05:52