整数問題を教えてください。

2以上の整数m,nは m^3+1^3=n^3+10^3 を満たしている。
m,nを求めよ。

この問題を教えてください。
範囲を調べたりして絞り込んで行こうと思ったのですが、絞り込めませんでした。

No.2 ベストアンサー 回答者： nordsee271 回答日時： 2009/03/21 00:43

面白い問題ですね。

見ただけでn=1,m=10が出ます。答えがこれだけならhappyですが、そうは問屋がおろさないのが数学です。問題の式を整理して
m^3-n^3=999
∴(m-n)(m^2+mn+n^2)=3^3*37　　　（1）
∴m>n≧2、このとき　m^2+mn+n^2=(m-n)^2+3mn>m-n
よって（1）の組み合わせは
　　m-n=3, m^2+mn+n^2=333 (2)
m-n=9, m^2+mn+n^2=111 (3)
m-n=27, m^2+mn+n^2=37 (4)
(3)が見ただけで解ったn=1,m=10のとき
(2)はもうひとつの答えです。
(4)は答えになりません。QED

No.1 回答者： happy2bhardcore 回答日時： 2009/03/21 00:29

こういう問題の場合

（x + y）^3 = A　や（x + y）（x^2 +Cxy +y^2）＝Aのようにして解くのが、定石かと思います。