全然わかりません

誰かすべての有理数は循環小数であることの証明をお願いします

No.6 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/21 13:19

整数も、有限小数の一種ですから、

0 が循環する循環小数であることに
変わりはありません。
循環節が、小数第1位から始まって
いるんですよ。

No.5 回答者： gungnir7 回答日時： 2009/04/21 13:17

任意のn進数に変換可能ならば全ての有理数は循環小数になります。

No.4 回答者： sotom 回答日時： 2009/04/21 10:10

整数も有理数なので、問題文がおかしい。

＃１さんのリンクに、「循環小数は分数で表せ、必ず有理数になる。」
と記述がありますが、それの間違いじゃないかと。

「逆は必ずしも真ならず」を具現化したような感じだなｗ

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/21 08:20

No.2 は、有理数が無限小数で表せるとすれば、

それは(有限小数も含めた)循環小数しかないこと
を正しく示していますが、十分性が足りません。
得られた小数展開がもとの分数に収束することを
示さねばならないのですが、その際、毎度の
0.999…=1 問題が再燃してしまうので、
納得したくない気持ちから出発している人はを
納得させるのは、難しいかもしれません。

No.2 回答者： PRFRD 回答日時： 2009/04/21 06:35

有限小数は 0 が循環すると考えることにします．

割り算の筆算を行うことを考えればよいのですが，
例えば 1/7 だったら

　　0.1428571...
　______________
7 ) 1.0000000000
　　　7
　　 ---
　　　3 　←
　　　28
　　　---
　　　 2 　←
　　　 14
　　　 ---
　　　　6 　←
　　　　56
　　　　---
　　　　 4 　←
　　　　 35
　　　　 ---
　　　　　5 　←
　　　　　49
　　　　　---
　　　　　 1 　←

のように計算しますが，← でマークした部分に現れる数字は，
前の段階の数字を 7 で割った余りなので，高々 7 種類しかありません．
（この場合は，0 にならないので 6 種類です）

したがって，7 回より多く計算を進めると，かならずどこかで同じ数が現れ，
それらの間で数字が循環します．

全く同じ議論が，有理数のp/qのp,qによらず展開できることを確認してみてください．

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/04/21 01:59

1/2は有理数ですが、

1/2=0.5
なので全ての有理数が循環小数といえません。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0% …

したがって証明不能です。