今年高校生になりました。
それで、高校受験をしたときに、15度、75度、90度の三角形は、
辺の比が

√3-1:√3+1:2√2

となると習いました。

ですが、今、自分でそれを導き出そうとしたところ、
1:2+√3:√2+√6

にしかなりません。

一応検算をしたら二つは同じものになっているような事がわかったのですが、

√3-1:√3+1:2√2

を導き出したいのです。
どなたかどのように導き出すのか教えていただけないでしょうか?

また、三角比というものをこれから習うのですが、それも関係しているのでしょうか?

ご返答お願いします。

A 回答 (2件)

分母が √a+b の形の無理数のときは、(√a-b)/(√a-b)を掛けて、分母を有理化します。



1:2+√3:√2+√6
=1:2+√3:√2+√2√3
=1:2+√3:√2(√3+1)
=1/(√3+1):(2+√3)/(√3+1):√2

1/(√3+1)
=(√3-1)/{(√3+1)(√3-1)}
=(√3-1)/(3-1)
=(√3-1)/2

(2+√3)/(√3+1)
=(√3+2)(√3-1))/{(√3+1)(√3-1)}
=(3+√3-2)/(3-1)
=(√3+1)/2

1/(√3+1):(2+√3)/(√3+1):√2
=(√3-1)/2:(√3+1)/2:√2
=(√3-1):(√3+1):2√2
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この回答へのお礼

とてもわかりやすい解説をありがとうございます!!
やっと理解できてすっきりしました。

お礼日時:2009/05/12 16:31

同じ数で割っても、比率は変わりませんので、1個目の比


√3-1:√3+1:2√2
から、√3-1で割ってみます。すると
1:(√3+1)/(√3-1):(2√2)/(√3-1)
となります。

あとは分母の√3-1の有理化を行えば同じ値になります。
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この回答へのお礼

ご解説ありがとうございました。
理解でき、すっきり出来ました。

お礼日時:2009/05/12 16:33

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Q直角三角形について

直角三角形の3辺の長さがわかっていたら、直角以外の
残りの2つの鋭角の角度も分かるのでしょうか?
また、3つの角度と1つの辺(斜辺以外の)が分かっていれば残りの2つの辺の長さも分かりますか?
そもそも直角三角形の辺と角に関係する公式はあるのでしょうか??
知っている方はぜひ教えてください。

Aベストアンサー

三角形の合同条件ってありますよね
「形・大きさが同じ」(合同)だったことがわかる,
すなわち,
三つの角度・三つの辺の長さが決定される
ということです.
したがって,合同条件にでてるものがわかれば
他の長さ・角度も決定可能
具体的な公式や,それが簡単に計算可能かは
別問題.角度は一般には三角比になるので
きちんとは求められないことがほとんどです.

直角三角形の場合は直角三角形の合同条件を
考えればいいでしょう.

ちなみに相似条件の場合は
三つの角度と三辺の比が決定される条件です.

Q△ABCにおいて, (a+b):(b+c):(c+a)=(1+√3):(√2+√3-1):(2+√2

△ABCにおいて,
(a+b):(b+c):(c+a)=(1+√3):(√2+√3-1):(2+√2)が成り立つ時,この三角形の最も大きい角θの大きさを求めよ。
この問題のやり方を教えて下さい。

Aベストアンサー

角度θを求めるだけなので、k=1倍として考えてもよいと思います。

(a+b)=1+√3
(b+c)=√2+√3 -1
(c+a)=2+√2
とします。すると、

a+b+c=(2a+2b+2c)/2
={(a+b)+(b+c)+(c+a)}/2
=(1+√3 +√2+√3 -1 +2+√2)/2
=(2 +2√3 +2√2)/2
=1 +√3 +√2
であることがわかります。

したがって、
a=(a+b+c)-(b+c)
=1 +√3 +√2 -(√2+√3 -1)
=2
b=(a+b+c)-(c+a)
=1 +√3 +√2 -(2+√2)
=√3 -1
c=(a+b+c)-(a+b)
=1 +√3 +√2 -(1+√3)
=√2

辺の長さは 2>√2>√3 -1 より a>c>b
よって、aの対角を求めればよいことがわかります。

aの対角をθと置くと、
余弦定理から、
a^2=b^2 +c^2 -2・b・c・cosθ
2^2=(√3 -1)^2 +(√2)^2 -2(√3 -1)・√2・cosθ
4=4-2√3 +2 -2√2(√3 -1)cosθ
0=-2√3 +2 -2√2(√3 -1)cosθ
2√2(√3 -1)cosθ =-2(√3 -1)
√2cosθ =-1
cosθ =-1/√2

三角形の内角の和は180度なので、0<θ<π だから
θ =3π/4
が解答となります。

角度θを求めるだけなので、k=1倍として考えてもよいと思います。

(a+b)=1+√3
(b+c)=√2+√3 -1
(c+a)=2+√2
とします。すると、

a+b+c=(2a+2b+2c)/2
={(a+b)+(b+c)+(c+a)}/2
=(1+√3 +√2+√3 -1 +2+√2)/2
=(2 +2√3 +2√2)/2
=1 +√3 +√2
であることがわかります。

したがって、
a=(a+b+c)-(b+c)
=1 +√3 +√2 -(√2+√3 -1)
=2
b=(a+b+c)-(c+a)
=1 +√3 +√2 -(2+√2)
=√3 -1
c=(a+b+c)-(a+b)
=1 +√3 +√2 -(1+√3)
=√2

辺の長さは 2>√2>√3 -1 より a>c>b
よって、aの対角を求めればよいことがわかります。

aの対角をθと置く...続きを読む

Q1=2を直角三角形で説明(アンサイクロペディアより

アンサイクロペディアの、直角三角形を利用した1=2の証明方法が不思議でなりません。
面積が変わるということはあり得るのでしょうか。

http://ja.uncyclopedia.info/wiki/1%3D2

直角三角形を利用した証明方法

まず、上の図のような直角三角形をかく。
1ますを1平方センチメートルとすると、この三角形の面積は8×21÷2=84平方センチメートルである。
この三角形を上の図のように分解して、下の図のように同じ直角三角形になるように並べ替える。
この三角形も同じ直角三角形であるため、84平方センチメートルであるが、よく見ると中に穴が開いているので、パーツだけの面積は83平方センチメートルである。
同じパーツなので、面積は同じである。したがって、83=84。
両辺から82を引いて、1=2

Aベストアンサー

こんばんわ。
有名な数学パズルですね。

ある種、「錯覚」の問題でもあります。
ポイントとなるのは、黄色と水色の三角形です。

それらの斜辺の傾きを調べると、微妙に違っています。
具体的な値で評価してみれば、よくわかります。
3/8≒ 5/13(5/13の方が大きい)

つまり、全体の大きな直角三角形を見たとき、
・左の図の斜辺は少しへこんでいて、
・右の図の斜辺は少しふくらんでいます。

その差がちょうど「1」になっているので、いまのような問題ができるのです。

Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関...続きを読む

Qx角形の中の正三角形、直角三角形の求め方

x角形の中の正三角形、直角三角形の求め方

x角形の中にある正三角形の求め方なんですが、どのような式でもとまるのでしょうか?

それと、x角形の中にある直角三角形の数は、1辺につき2個あるということでいいのでしょうか?

Aベストアンサー

正三角形があるのは、xは3の倍数のときだけで、その数はx/3個


>x角形の中にある直角三角形の数は、1辺につき2個あるということでいいのでしょうか?

「1辺につき」の辺とは、x角形の辺のことでしょうか?
直角三角形の辺が、x角形の辺になっているとは限りません。

直角三角形があるのは、xが偶数のときだけで、その数はx(x-2)/2個

Q=1+(1/√3) /1-1・(1√3) =√3+1/√3-1 この式の途中式をおしえてください。

=1+(1/√3) /1-1・(1√3)

=√3+1/√3-1

この式の途中式をおしえてください。
どうしてこうなるのかわからないので

Aベストアンサー

テキスト形式で描く場合は、それなりの注意が必要です。
問題の式は、{1+(1/√3) }/{1-(1/√3)} ではないですか。
つまり、平方根を含む繁分数ですね。
分母、分子をそれぞれ分数を含むのですから、それぞれを分母の有理化をすれば良いのです。

Q直角三角形の高さと一辺の長さ「

直角三角形の高さ=2メートル
角度は。30度、60度、90度です。

この直角三角形の一辺の長さを教えてください。

できれば・・・求め方もお願いします

Aベストアンサー

言葉を変えて再質問しても、反応は変わらんよ。


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この三角形の三辺の比は、1:2:√3

なので、このうち、欲しい辺(x)とわかっている辺(2m)の比を使用して、
 x:2=2:√3

あとはxを求めるだけ。



インターネットなんてしてる暇があったら、勉強しなさい。

Q√(1+√(1+√(1+√(1+...

数列{a_n}をa_(n+1)=√(1+(a_n)) として、初項1とするとき、lim{n→∞}a_nは収束するかという問題なんですが、a_n<a_(n+1)(単調増加)というのはわかるのですが、有界であることの説明がまったく思いつかず、、、
a_n<b_nといったような数列b_nを考えてきょくげんをとろうかなと思ったんですけど思いつかず、、、
ヒントでもいいのでよろしくお願いします

Aベストアンサー

ちゃんとした証明ではなく概略ですが。

a_(n+1)=√(1+(a_n))
a_(n+1)^2 = 1+(a_n)
a_(n+1)^2 - (a_n) = 1
a_(n+1)^2 - a_(n+1) + a_(n+1) - a_n = 1
今、a_n>1 は明らかだから a_(n+1)^2 - a_(n+1) > 0
単調増加より a_(n+1) - a_n > 0
よって、
a_n^2 - a_n < 1
は明らかだから、上限がある。
単調増加で上限があるため、収束する。

Q直角三角形の角の和

底辺2で高さ1の直角三角形の高さ1に対する角と
底辺3で高さ1の直角三角形の高さ1に対する角の和は45度になるようですが、その初等的な証明方法を教えてください。

Aベストアンサー

>初等的な証明方法を教えてください。
よって、三角関数の合成はわからないものとして証明しますが、ピタゴラスの定理、及びルート、または三角定規の45°のものの辺の比が1 : 1 : √2を知っているものとします。

先ず、底辺3で高さ1の直角三角形の高さ1の三角形ABCを書きます。即ち、∠ACB=90°、AC=3 , BC=1 , AB=√10
そして、∠BAC=αとおきます。
次に、AB上にAF=√5となる点Fを取り、AG=2 , GF=1となる直角三角形を書きます。(即ち、∠AGF=90°そして、△ABCに逆向きに△AGFをかぶせて、∠FAG=βとします)
次いで、AGの延長と、BCの延長の交点をDとする。
また、このADにBより垂線を下ろし、交点をEとする。
△AFG∽△ABE、FG=1 , AG=2 , AF=√5 , AB=√10より、
BE=√2 , AE=2√2 が求まります。
最終段階として、△BED∽△ACD(∠EDB=∠CDA , ∠DBE=∠DCA=90°)
BD=X , ED=Yとおくと、
EB : AC=ED : CD=BD : AD此に、数値を入れてください。
√2 : 3=Y : (1+X)=X :((2√2)+Y)
3Y=√2+(√2)*X
3X=4+(√2)*Y
此を整理すると、
6X=(9√2)*Y-6
6X=8+(2√2)*Y
Y=√2 , X=2
よって、CD=3 , AC=3 , AD=3√2
此より、 1 : 1 : √2の比がでていますので、α+β=45°

>初等的な証明方法を教えてください。
よって、三角関数の合成はわからないものとして証明しますが、ピタゴラスの定理、及びルート、または三角定規の45°のものの辺の比が1 : 1 : √2を知っているものとします。

先ず、底辺3で高さ1の直角三角形の高さ1の三角形ABCを書きます。即ち、∠ACB=90°、AC=3 , BC=1 , AB=√10
そして、∠BAC=αとおきます。
次に、AB上にAF=√5となる点Fを取り、AG=2 , GF=1となる直角三角形を書きます。(即ち、∠AGF=90°そして、△ABCに逆向きに△AGFをかぶせて、∠FAG=βとします)
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Q無限級数(√2+1)-(√2-1)+(5√2+7)-... の収束、発散を調べ、収束する時は和を求め

無限級数(√2+1)-(√2-1)+(5√2+7)-...
の収束、発散を調べ、収束する時は和を求めよ。
これを詳しく教えていただきたいです。お願いします。

Aベストアンサー

初項 (√2+1) 公比 -((√2-1)² の無限等比級数だよ。
だから例の公式で和を計算してちょうだい(^^);


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