No.3ベストアンサー
- 回答日時:
定理かどうかは知りませんが、簡単に証明できますよ。
一般的に次のように言い換えて証明します。
「体K上の同次多項式 f(x_1,・・・,x_n) の因子は、
また体K上の同次多項式である」
質問については n=3で係数が整数(有理数)の場合であるため
上記証明に包含されます。
とりあえず、環、整域、体とか言う言葉を知っていますよね?
知らない場合はわかりやすくないので(^^A
イメージだけつかんでください。
(proof)
背理法による:
f(x_1,・・・,x_n) が K上既約多項式ならば、
因子は定数か自身の定数倍であるため明らか。
したがってK上可約としてよい。
このときfの同次でない因子をgの存在を仮定する。
fは可約より
f(x_1,・・・,x_n) = g(x_1,・・・,x_n)q(x_1,・・・,x_n)
とあらわせる。(剰余定理)
ここで
gの最大項の次数をK,最小項の次数をk
qの最大項の次数をL,最小項の次数をl
とすると、右辺の次数は最大L+K,最小l+kであるが
gは同次でないのでL+K != l+k
これはfが同次であることに反する。
※同次多項式とは、各項の次数がすべて等しい多項式である。
例 f(x,y) = x^2 + 7xy + y^2(2次で同次)
f(x,y,z) = x^3 + 3xyz + y^3 + x^2y (3次で同次)
f(x,y) = x^2 + y+ 3 (同次でない)
※因子とは、整数でいう約数。体(整域)上で定義される。
※既約多項式とは、整数でいう素数。体(整域)上で定義される。
No.2
- 回答日時:
2つの因数に分解できたとします。
片方の因数で最高次をk,最低次をl
もう一方をm,nとすると展開式は
最高次がk+m,最低次がl+n
ですから同次多項式でないことは明らか。
No.1
- 回答日時:
参考程度に
同次多項式は、「同じ次数をもつ」と「多項式」という二つの意味を満足するものですね。
例えば、二つの意味を満足するものとして、次数2の多項式を考えます。
f(x,y,z)=(x+a)^2+(y+b)^2+(z+c)^2=0
と置きますと、
f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)+(2ax+2by+2cz)+(a^2+b^2+c^2)=0
因子:
(x^2+y^2+z^2)
(2ax+2by+2cz)
は同じ次数(2次及び1次)をもつ多項式ですね。
ということかな。
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