待ち行列（中学入試）

Question

『ある映画館では、入場券発売口の前に■分前から、行列ができ始めています。そして一定の割合で、入場券を買い求めるお客さんが行列の後ろに並んでいきます。ひとつの入場券発売口を開いて入場券を売り始めると、発売を始めてから10分で行列がなくなりますが、最初から入場券発売口を2つにすると、4分で行列がなくなります。

■に当てはまる数を答えなさい。』

という問題があります。1分間にｘ人の割合でお客さんが行列を作り、
　ひとつの窓口において1分間に　ｙ人の割合で入場券を売りさばくとおきます。さらに、発売前にZ人が並んでいた、とおきます。
*窓口ひとつのとき・・・Z　＋　10ｘ　ー10ｙ　＝0・・・(1)
*窓口二つのとき・・・Z　＋　4ｘ　ー8ｙ　＝0　・・・(2)
(1)(2)を連立してZ消去すると　ｙ＝3ｘ　・・・(3)
(3)を(1)に代入して　Z＝20ｘ　と、なりますから、■＝20（分）というように答えは出ます。
　ただしこれは、某有名私立中学の入試問題なので、ｘ、ｙ、Z　といった未知数を使わないでとかせようとしていると思います。その場合の解法をご指南いただけたら幸いです。

Quattro99 · Accepted Answer

■一つを[1]と表すことにします。

窓口一つだと、10分間で[1]+10分ぶんのお客さんをさばくことが出来ます(1)。
窓口二つだと、4分間で[1]+4分ぶんのお客さんを裁くことが出来ます(2)。
(2)から、窓口二つだと10分間で[2.5]+10分ぶんのお客さんを裁くことが出来ます(3)。
(3)は(1)の2倍のはずですから、[2]+20分ぶんと[2.5]+10分ぶんが同じということになり、[0.5]が10とわかります。
従って、[1]すなわち■は20(分)です。

Rice-Etude · Answer

一つ目の入場発売口のうちから割り込み専用口（増加する人と同じ割合で処理する分の発売口）をあらかじめ割り当てておきます。残った窓口で、スタート時点でたまっている人の処理を行うと考えます。

本来発売口が二つになれば処理能力は2倍、すなわちかかる時間は1/2となります。ところが実際はかかる時間は2/5、すなわち処理能力は2.5倍となっています。よって、一つ目の窓口のうちたまった人用の処理へは
1÷(2.5-1)=1÷(3/2)=2/3
から、最初の窓口のうち2/3をたまっている人用、残りの1/3が増加する人用として窓口が割り当てられていることが分かります。

ここで、仮に窓口が30人/分で処理できるとしたら、上記の割合にしたがって、
たまっている人用：20人/分
増加する人用：10人/分
となります。つまり、1分あたり10人増加していることが分かります。

窓口一つだけのときは10分で行列がなくなっていますので、
20×10＝200人
より、スタート時には200人いることになります。これを増加速度で割れば
200÷10＝20分
ということで、20分前から行列ができていることになります。

Mr_Holland · Answer

窓口が１つのときと２つのときの処理能力の差に注目します。

　窓口が１つで、１分間に並ぶお客さんの△倍の人数を処理することができるとします。
　窓口が１つのときに行列がなくなるまでに処理した人数は、１分間に並ぶお客さんの　△×１０　倍です。
　また、窓口が２つのときに行列がなくなるまでに処理した人数は、１分間に並ぶお客さんの　△×２×４＝△×８　倍ですが、これは窓口が１つのときより　６分間に並ぶお客さんの人数分だけ少ない数です。

　つまり、方程式で表せば　１０△＝８△＋６　ですが、　これを長方形の面積を使った計算で求めます。

　　　　　　　　　　　　８　　　１０
＋－－－－－－－－－－－＋－－－＋
｜　　　　　　　　　　　｜　　　｜
｜　　　　　　　　　　　｜　６　｜　△
｜　　　　　　　　　　　｜　　　｜
＋－－－－－－－－－－－＋－－－＋

　　この図から、△を２倍したものが６になりますので、△＝３　であることが分かります。
　つまり、窓口１つの処理能力は、行列ができるスピードの３倍だと言うことが分かります。


　このことから、窓口が１つのときに、窓口が開くまでに並んでいた人たちは、　３－１＝２　倍のスピードで処理されていったことになりますので、窓口が開くまでに並んでいた人たちは、１分間に並ぶお客さんの　１０×２＝２０　倍　ですから、

　■＝２０（分）

分の人数だったと言うことが分かります。

yaemon_2006 · Answer

考え方は、他の人と同じ。
　
　
最初に列に並んでいる人数を 1 とする。

(1 / 4) - (1 / 10) == 3 / 20 // 1つの窓口が、1分で処理する人数
(3 / 20) * 10 == 30 / 20 // 1つの窓口が、10分で処理した人数
(3 / 20) * 2 * 4 == 24 / 20 // 2つの窓口が、4分で処理した人数
(30 / 20) - (24 / 20) == 6 / 20 // 6分間で列に並んだ人数
(6 / 20) / (10 - 4) == 1 / 20 //1分間で列に並んだ人数
1 / (1 / 20) == 20

答え 20分

待ち行列（中学入試）

■一つを[1]と表すことにします。

一つ目の入場発売口のうちから割り込み専用口（増加する人と同じ割合で処理する分の発売口）をあらかじめ割り当てておきます。

窓口が１つのときと２つのときの処理能力の差に注目します。

考え方は、他の人と同じ。

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　窓口が１つのときと２つのときの処理能力の差に注目します。

　考え方は、他の人と同じ。