
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
同次微分方程式の一般解は、y=Ae^(3x)+Be^x ・・・・(1) です。
後は、非同次微分方程式の特解を足せば、非同次部分方程式の一般解になります。
与えられた非同次微分方程式の右辺を見るとxの2次式になっていますので、yはxの2次式 y=ax^2+bx+c となっていることが予想できます。
そこで、与えられた微分方程式にこれを代入しますと、非同次微分方程式の特解が
y=-2/27 (18x^2-24x+37) ・・・(2)
と得られますので、これを(1)に足せば、非同次微分方程式の一般解が得られます。
No.4
- 回答日時:
すでに前の回答者さん達の言われるようにD=d/dxとしてf(D)y=0の一般解と、f(D)y=4x^2+2の特殊解を重ね合わせるだけです。
具体的には以下のとおりです。(D^2-2D-3)y=4x^2+2...(1)
については
(D^2-2D-3)y=0...(2)
の一般解と
(D^2-2D-3)y=4x^2+2...(1)
の特解の重ね合わせです。(2)は、
(D-3)(D+1)=0
となりますから解は
y=Ae^(3x)+Be^(-x)...(3)
(1)の特殊解は
y=(4x^2+2)/(-3-2D+D2)
です。この割り算のやり方は馬鹿みたいな説明ですが、以下のとおりです。(ただし...は空間をつくるためにいれました。)
........................(-4/3)x^2+(16/9)x-74/27
........................___________________
-3-2D+D^2..)..4x^2..........+2
........................4x+(16/3)x-8/3
......................._______________
...........................(-16/3)x+14/3
...........................(-16/3)x-32/9
..........................._______________
......................................74/9
......................................74/9
....................................._______
..........................................0
割り算ですが、Dがかかるところが微分操作になってます。よって必ず割り切れます。
よって解は
y=Ae^(3x)+Be^(-x)+(-4/3)x^2+(16/9)x-74/27
となります。(もとの式に代入してお確かめ下さい。)
No.3
- 回答日時:
同次形?
斉次形って言いませんか。
同次形微分方程式と言うと、
普通は別のモノを指します。
y = 4x~2 + bx + c という形の特殊解
が在ることは、パッと見で判ります。
これを方程式へ代入して定数 b,c を決め、
y = z + (4x~2+bx+c) と置けば、
z についての斉次線型微分方程式に換わります。
後は、貴方自身がやったとおりです。
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