微分方程式

y''-2y'-3y=4x^2+2

の一般解の求め方がわかりません。

たぶん同次形にしてその2つの独立な解を求めるところあたりまではできたと思うんですがそっちも自信がないです。

わかる方お願いします!

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A 回答 (4件)

 同次微分方程式の一般解は、y=Ae^(3x)+Be^x ・・・・(1) です。


 後は、非同次微分方程式の特解を足せば、非同次部分方程式の一般解になります。

 与えられた非同次微分方程式の右辺を見るとxの2次式になっていますので、yはxの2次式 y=ax^2+bx+c となっていることが予想できます。
 そこで、与えられた微分方程式にこれを代入しますと、非同次微分方程式の特解が
  y=-2/27 (18x^2-24x+37)  ・・・(2)
と得られますので、これを(1)に足せば、非同次微分方程式の一般解が得られます。
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すでに前の回答者さん達の言われるようにD=d/dxとしてf(D)y=0の一般解と、f(D)y=4x^2+2の特殊解を重ね合わせるだけです。

具体的には以下のとおりです。
(D^2-2D-3)y=4x^2+2...(1)
については
(D^2-2D-3)y=0...(2)
の一般解と
(D^2-2D-3)y=4x^2+2...(1)
の特解の重ね合わせです。(2)は、
(D-3)(D+1)=0
となりますから解は
y=Ae^(3x)+Be^(-x)...(3)
(1)の特殊解は
y=(4x^2+2)/(-3-2D+D2)
です。この割り算のやり方は馬鹿みたいな説明ですが、以下のとおりです。(ただし...は空間をつくるためにいれました。)
........................(-4/3)x^2+(16/9)x-74/27
........................___________________
-3-2D+D^2..)..4x^2..........+2
........................4x+(16/3)x-8/3
......................._______________
...........................(-16/3)x+14/3
...........................(-16/3)x-32/9
..........................._______________
......................................74/9
......................................74/9
....................................._______
..........................................0
割り算ですが、Dがかかるところが微分操作になってます。よって必ず割り切れます。
よって解は
y=Ae^(3x)+Be^(-x)+(-4/3)x^2+(16/9)x-74/27
となります。(もとの式に代入してお確かめ下さい。)
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同次形?


斉次形って言いませんか。
同次形微分方程式と言うと、
普通は別のモノを指します。

y = 4x~2 + bx + c という形の特殊解
が在ることは、パッと見で判ります。
これを方程式へ代入して定数 b,c を決め、
y = z + (4x~2+bx+c) と置けば、
z についての斉次線型微分方程式に換わります。
後は、貴方自身がやったとおりです。
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特解の 1つをなんとかして求めて, それと同次形の解を足すだけ.


特解の方は 2次式とおいて係数比較すれば求まる. 同次形の解も特性方程式を解けばわかる.
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