ポントリャーギンの連続群論
G、G* 位相群  g:G→G* への準同型
p121でb)単位元eの任意の近傍Vに対して,g(V)⊃V*なるごとき単位元e*の近傍V*が存在する。
条件bから写像gがopen mapなることの証明はどうすればいいのでしょう。

証明
 G∋∀a、aでopen mapなること。
U∋a、任意の開集合をとる。 g(U)がopenを示す。

g(U)∋任意b’=g(b)をとり、b’をふくむO:open setがあってO⊂g(U)を示せばいい。
a-1U:eの近傍となる
ここから先が進みません。ご教授願います。

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A 回答 (2件)

a'=g(a)とする


条件よりg(a-U)は開集合でa'-b'を含む。
よってあるa'-b'の近傍Vでg(a-U)に含まれるものが存在。
O=a'-Vとすればよい。
実際、任意のOの元はg(U)に含まれる。

でいいと思います。
細部は多少省きましたのでご自身で行間を埋めてみてください。
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この回答へのお礼

O=a'Vとすればよい。に直しておきます。

上の説明とあわせ理解しました。理解すると自明と思えるようになりました。
どうもありがとうございます。

お礼日時:2009/05/16 06:39

すいません、誤りがありました。



>条件よりg(a-U)は開集合でa'-b'を含む。

の部分が直接はわからないですね。
正しくは、
g(U-b)⊃Vなる単位元の近傍が存在。
ですね。
これに対しV+b'がb'の近傍でg(U)に含まれます。
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