連続群論

ポントリャーギンの連続群論
Ｇ、Ｇ*　位相群　　ｇ：Ｇ→Ｇ*　への準同型
ｐ１２１でｂ）単位元ｅの任意の近傍Ｖに対して,ｇ(V)⊃Ｖ*なるごとき単位元ｅ*の近傍Ｖ*が存在する。
条件ｂから写像ｇがｏｐｅｎ　ｍａｐなることの証明はどうすればいいのでしょう。

証明
　Ｇ∋∀ａ、ａでｏｐｅｎ　ｍａｐなること。
Ｕ∋ａ、任意の開集合をとる。　ｇ（Ｕ）がopenを示す。

ｇ（Ｕ）∋任意ｂ’＝g（ｂ）をとり、ｂ’をふくむＯ：ｏｐｅｎ　setがあってＯ⊂ｇ（Ｕ）を示せばいい。
ａ-1Ｕ：ｅの近傍となる
ここから先が進みません。ご教授願います。

No.1 ベストアンサー 回答者： 33550336 回答日時： 2009/05/15 22:28

a'=g(a)とする

条件よりg(a-U)は開集合でa'-b'を含む。
よってあるa'-b'の近傍Vでg(a-U)に含まれるものが存在。
O=a'-Vとすればよい。
実際、任意のOの元はg(U)に含まれる。

でいいと思います。
細部は多少省きましたのでご自身で行間を埋めてみてください。

この回答へのお礼

O=a'Vとすればよい。に直しておきます。

上の説明とあわせ理解しました。理解すると自明と思えるようになりました。
どうもありがとうございます。

お礼日時：2009/05/16 06:39

No.2 回答者： 33550336 回答日時： 2009/05/15 22:39

すいません、誤りがありました。

＞条件よりg(a-U)は開集合でa'-b'を含む。

の部分が直接はわからないですね。
正しくは、
g(U-b)⊃Vなる単位元の近傍が存在。
ですね。
これに対しV+b'がb'の近傍でg(U)に含まれます。