正項級数の収束・発散についての質問です

正項級数の収束・発散について質問です．
正項級数Σ[n=1..∞]a(n)が発散するとき，
s(n)を部分和として，
(1) Σ[n=1..∞](a(n)/(1+a(n))),
(2)Σ[n=1..∞](a(n)/s(n))はいずれも発散することを証明せよ．
がわかりません．どなた様かご教授ください．

No.1 回答者： grothendieck 回答日時： 2009/05/24 20:18

Σa(n)/(1+a(n))が収束すると仮定すると任意のε>0 に対して「適当に」Nをとるとｎ>N ならば

　a(n)/(1+a(n)) < ε
ゆえに
　a(n) < ε/(1-ε)
また任意のε'>0 に対して「適当に」N'をとるとｎ,m>N' ならば
　｜a(n)/(1+a(n)) + ...+a(m)/(1+a(m))｜ < ε'
よってｎ,m>N' かつｎ,m>N、ε/(1-ε)=L とすると
　(1/(1+L))｜a(n)+ ...+a(m)｜
　<｜a(n)/(1+a(n)) + ...+a(m)/(1+a(m))｜ < ε'
となってΣa(n)も収束することになって矛盾である。
(2)の方は「適当に」考えてください。
私ごときものが回答するより深遠でレベルの高い問題に見事な見解（ビッグバン前の宇宙は観測できないとか）を堂々と披露されているお歴々に是非ご回答頂きたいものです。

参考URL：http://aserv.a.phys.nagoya-u.ac.jp/~naoshi/gakuj …

この回答へのお礼

なるほど，背理法ですね．
目から鱗です．大変参考になりました．
ありがとうございました．

お礼日時：2009/05/25 05:14

No.2 回答者： grothendieck 回答日時： 2009/05/26 22:23

Σa(n)/s(n)が収束すると仮定すると、任意のε>0 に対して「適当に」Nをとるとｎ,m>N ならば

　｜a(n)/s(n) + ...+a(m)/s(m)｜ < ε
s(n)は単調増加だからm>n とすると
　(1/s(m))｜a(n)+ ...+a(m)｜
　<｜a(n)/s(n) + ...+a(m)/s(m)｜
よって任意のm>n>N について
　(s(m)-Σ[k=1..n]a(k))/s(m)　<ε
m→∞のときs(m)が発散するとするとこの不等式の左辺は１に収束するので任意のεについて成立するためにはs(m)は収束しなければならない。すなわちΣa(n)も収束することになるので矛盾である。

私ごときものが回答するより私が解決できない問題に明快な回答
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa653180.html
をされているお歴々に是非ご回答頂きたいものです。

この回答へのお礼

重ね重ねありがとうございます．
証明の最後の２行のところが，うまく出来ず
歯がゆい思いをしておりました．
ご教授ありがとうございました．

お礼日時：2009/05/27 05:17

No.3 回答者： grothendieck 回答日時： 2009/06/07 18:00

(1)の方ではεは ε>0だけでなく、1>ε>0 を満たすとする必要があります。

しかし証明の大筋には問題ないと思います。