中1の数学を家庭で見ているものです。

小学校の時には問題になりませんでしたが、中学に入りあたった疑問・問題です。


1 1/3 - 2 2/3 + 1 2/3
という計算は
4/3 - 8/3 + 5/3= (4-8+5)/3 = 1/3
とするしかないと思い込んでいましたが、

子供の問題集には
(1-2+1) + (1-2+2)/3
として、整数部分はゼロなので、分数部分だけ計算して1/3という答えを
出しています。

これは、上手いとは思うんですが、-2 2/3 = -2-2/3という分解を目でしなければならないところが危ないような気がするんですが、教え方としてはどうなんでしょうか。

-2 2/3 = -2+2/3と容易に間違ってしまいそうですし、演算記号としてのマイナスと符号としてのマイナスの区別も付けにくいように思います。

この問題の解き方としてはどちらでも良いのでしょうが、後への繋がりも考えると、仮分数に直すルールを一つ覚えるほうがいいと思う一方で、
整数部分が非常に大きい数字のときは、仮分数に直すところで間違える確率も高くなるような気がして迷っています。

中学生の数学教授経験のある方のご意見を歓迎します。

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A 回答 (6件)

理科と数学の教員免許(中・高)を所持しております。

大学時代と、退職後に塾や家庭教師で中・高生に理系科目を中心に教えてきました。この場合の教え方ははっきり言って、その子供が数学が得意であるか、あるいはそうでないかによって大きく変わると思います。数学が得意な子供はおそらく、ご指摘のような間違いをすることはあまりないでしょう。計算の得意な子供にしてみれば、整数部分と分数部分をわけて計算するほうが簡単に思え、しかも素早くすることができるはずです。ただ苦手な子供はご指摘のように+、ーを混同しそうですし、それを防ぐためには( )を適正につけるように指導が必要です。そのような場合には一度仮分数に直す方法が時間はかかっても確実な気がします。

 また、帯分数は中学校においてはほぼ使わなくなりますから仮分数の計算に早く慣れる方が便利ですし、実際問題として「整数部分が非常に大きい数字のときは、」のような問題は頻出しませんから、数学が苦手な子供にとってはあまり心配する必要はないと思いますよ。

 結局、「こどもによってやりやすいほうでよい」という答えになっていないような答えですが、これまでの経験では、この問題に関する限り、それで十分なはずです。(帯分数がいずれ子供の前から姿を消すので、後への影響はない)
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この回答へのお礼

早速ありがとうございます。
実は、男と女の双子でして、男は数学・算数得意。女は大嫌いです。
男のほうは6年次に先取り学習して、連立方程式は終わり、2次方程式の入口(平方完成)までは行きました。ぐっと睨んで因数分解というのはまだまだです。

で、両方に帯分数方式を教えたところ、男「ふーん。でも先行き使わなさそうだし、確実だから仮分数で行くよ。ただ、-2 1/2が-2-1/2だと確認するのは役に立つかも」、女「-2 1/2は絶対に-2+1/2だ。こんなの間違ってる...」でした。

男のほうも中学受験を経由せず、先取りばかりやったので~算の匂いのする「上手い」解き方にはアレルギーがあるようで、同じ匂いを帯分数方式に感じているようです。後々特に役に立つというのでなければ仮分数方式で行こうかと思っています。

むしろ、分数と見ると全部通分してかかってしまうことのほうを直さないといけないと思っています。1/5+10/27-1/27を135に通分してからやっているので、アホかといっていたのがこの週末です。

お礼日時:2009/05/18 14:13

仮分数にしない方法を習得すべきです。

帯分数は、それ自身が+記号を省略したものですから、整数部分を先に片付けるべきです。

「演算記号としてのマイナスと符号としてのマイナスの混同」の件は、分数の計算の前に完全に習得しておく必要があります。階段は1段ずつ上るべきで、前の段があやふやのままで次の段に挑戦してはいけません。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

帯分数方式にすべきというご回答は、正直予期していませんでした。

お言葉ですが、
>「演算記号としてのマイナスと符号としてのマイナスの混同」の件
>は、分数の計算の前に完全に習得しておく必要があります。
には全く異論はないのですが、

帯分数が基本でそれを先にマスターするべきという考えには異論を持っています。分数の本質は除法であって、順序から言えば、何を何で割ったのかが直截示されている仮分数を先に理解して、除法の結果の示し方としては、大きさの具体的なイメージが掴み易い帯分数という示し方「も」あると整理したほうが良いと思っています。

帯分数を小学校で教えて、中学以降は殆ど仮分数しか使わなくなく今の教え方は、具体→抽象という意味では良いんでしょうが、その結果、分数=除法という理解を妨げているように思っています。

この点は別スレを立てます。

お礼日時:2009/05/20 10:47

>-2 2/3 = -2+2/3



-(2 2/3)

(2 2/3)を引く

(2と2/3)を引く

2も引くし、2/3も引く

-2-2/3
とでもすれば、どうでしょうか。

2x + 1/2 x = 2 1/2 x
と、帯分数で書いたりしないし、
仮分数でいいんじゃないですかね
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

-2 2/3 = -2-2/3は
-(2+2/3)に分配法則を使うことで教えたいと思います。

最初に「算数=技、テクニック必要。ケースバイケースの解決」「数学=原理、原則が分かればテクニック不要。常に同じやり方」と教えたので、その説明から出ないようにするには仮分数方式メインで行こうと思っています。

お礼日時:2009/05/19 13:32

仰るとおり、仮分数は乗除算に、帯分数は加減算に


よく馴染みますね。
帯分数の加減算を、整数部分と分数部分に分けて
処理するのは、「上手い」技というよりも、常識の
範疇でしょう。

仮分数で与えられた数の減算を、帯分数を経由して
計算するホドのものでは、決してありませんが、
帯分数で与えられた計算なら、せっかく出題者側で
桁数を少なくしてくれているのだから、分解したまま
扱うのが自然でしょう。

「指導する」という立場を意識しすぎると、どの考え方が
良いとか、悪いとか、ルールを設定したくなりがちですが、
あまり教条的にならずに、「正しい答えが得られれば、
どのやり方でも構わないが、簡単なことは簡単に処理する
ほうが、どちらかと言えば賢い」くらいに捉えるのが
健康的だと思います。最終的には、本人のスキズキです。

ところで、お嬢様ですが、
-(2+1/2) と -2+1/2 を混同してしまうのは、かなり重篤です。
仮分数、帯分数は好きなほうで処理すれば十分だとしても、
分配法則が使いこなせないようだと、先々の苦労が偲ばれます。
加算と乗算の混じった計算の練習を十分行ったほうが善いでしょう。
2×(3+5) とか…
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

私自身が、中学になったら帯分数は使わないと思い込んでいたこともあり、更に社会に出てからは全く使わないこともあり、帯分数は特殊だと思い込んでいる面があり、そのためテクニカルだと思ってしまうのかもしれません。

分配法則が中1で使えることは全く意識していませんでした。中学で初めて習うように錯覚していました。この説明は使えますね。ただ、今の今は正負の数の加減のみで、乗除に行っていないので、負数x正数=負数を理解したら戻ってみます。

お礼日時:2009/05/19 13:13

分母が3だけでなく複数であったらこの計算は


成り立たない。
「帯分数の加減」の回答画像3
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

ただ、質問では簡単化のため分母は同じにしましたが、違ったとしても、整数部分と分数部分に分けて分数部分は通分すれば済むのではないでしょうか。

例えば
1 1/3 - 2 1/2 + 1 2/3= 8/6 - 15/6 + 10/6 = (8-15+10)/6 = 1/2
1 1/3 - 2 1/2 + 1 2/3=(1-2+1)+(1/3-1/2+2/3) = 0+(2-3+4)/6 =1/2
です。

お礼日時:2009/05/18 16:32

まったくその通りだと思います。



我が家の息子も中1ですが,仮分数で教えています。
「-2 2/3 = -2+2/3」としてしまいそうだからです。
それに,掛け算は仮分数でするわけですから。
また,長男のときに,答えは仮分数の方がいいと聞いたような気がします。
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この回答へのお礼

早速ありがとうございます。
やっぱり、その懸念はありますよね。ただ、使いこなせれば帯分数方式も魅力はありますね。どちらかといえば、文章題を、方程式でなく~算で解くような「上手い解法」のイメージでしょうか。

お礼日時:2009/05/18 14:00

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分数の足し算を教えてください。
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Qf(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3)

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なぜこのように表せるのか、どうしてこう思いついたのか、わかりません。考え方を教えてください。よろしくお願いいたします。答えはf(5)=97です。

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ranx さんの言うように、
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なぜ、分数の足し算引き算は分母をそろえないと計算できないのですか?そして掛け算割り算はなぜそろえなくても計算できるのですか?

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 分母が異なると言うことは、1の長さが違うから、1の長さを合わせるために通分をします。1/2と1/3をたし算するときは、1/2を3/6に、1/3を2/6にして、1の長さを同じにしてから、たし算をします。
 3ドルのものを見たときに、1ドルが90円のとき、270円かと思い浮かぶのではないでしょうか? 分母が異なる分数のたし算は3ドルと100円のたし算と似ています。普通は3+100ではなく、円にして、270+100=370とします。

かけ算 例 5/2×4/3
分解すると5/2の1/3が4個です。5/2の1/3は5/6、5/6が4個だから、答えは5/6+5/6+5/6+5/6=20/6=10/3
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5/2から3/4が何回ひき算できるかなので、5/2を10/4として3/4をひいていきます。
10/4-3/4-3/4-3/4=1/4 3回ひけました。
1/4残りました。3/4はひけないので、1/4(1/3回)をひきます。
1/4-1/4=0 3回と1/3回ひけたので、答えは、10/3です。
わり算は分母をそろえてからでないと計算できないのですが、わる数の分数をひっくり返してかけ算すると分母をそろえるとかしなくても簡単にできてしまいます。

 分母が異なると言うことは、1の長さが違うから、1の長さを合わせるために通分をします。1/2と1/3をたし算するときは、1/2を3/6に、1/3を2/6にして、1の長さを同じにしてから、たし算をします。
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かけ算 例 5/2×4/3
分解すると5/...続きを読む

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Q分数の足し算で

分数の足し算で
最近通分が出来ない子供が多いようですが
通分しないで足し算すると、正しく通分した場合の答えと大体 2:1になります。
何か法則とかあるのでしょうか?たまたま?

Aベストアンサー

既に「分母が近い場合、2つの分数の値が近い場合に、2:1になる」と言う答えが出ていますが。

どうしてそうなるか、考えて見ます。

1/100 + 1/101を例に取りましょう。

通分して正しく計算した場合は

1/100 + 1/101
=(1*101)/(100*101) + (1*100)/(101*100) …(1)
=101/10100 + 100/10100
=(101+100)/10100 …(2)
=201/10100
となります。

間違って計算した場合は
1/100 + 1/101
=(1+1)/(100+101) …(3)
=2/201
となります。

通分している場合は(1)のように分子分母に100近い値を掛け算していますので、比べやすいよう(3)の式の分子分母を100倍した式(4)を作ります。
=(1+1)/(100+101) …(3)
=(100*(1+1))/(100*(100+101)) …(3)
=(100+100)/(10000+10100) …(4)

ここで、正しく通分した場合の式(2)と、間違った式(4)を比べます。

=(101+100)/10100 …(1)
=(100+100)/(10000+10100) …(4)

分子の方は、ほぼ同じような式になりました(注:※)。なので、分母だけ考えます。

しかし、分子の方が大きく異なり、(1)は「分母がそのまま」ですが、(4)は「近い数2つを足し算」してしまっています。

「近い数2つを足し算」するのは「2倍にする」ような物です。

つまり「分母が2倍になる」のですから「値が半分になる」わけです。

なので「正解の値:不正解の値≒2:1」になる訳です。

簡単に言えば「間違った計算の時は、分母同士も足し算しちゃうから、半分ちかくの値になっちゃう」のです。

----
※:「分母が近くない場合」や「2つの分数の値が近くない場合」には、通分する事により、分子の方も「大きく違った式」になってしまいます。その為に比率が2:1にはなりません。

既に「分母が近い場合、2つの分数の値が近い場合に、2:1になる」と言う答えが出ていますが。

どうしてそうなるか、考えて見ます。

1/100 + 1/101を例に取りましょう。

通分して正しく計算した場合は

1/100 + 1/101
=(1*101)/(100*101) + (1*100)/(101*100) …(1)
=101/10100 + 100/10100
=(101+100)/10100 …(2)
=201/10100
となります。

間違って計算した場合は
1/100 + 1/101
=(1+1)/(100+101) …(3)
=2/201
となります。

通分している場合は(1)のように分子分母に100近い値を掛け算しています...続きを読む

Q1+2+3+4+・・・=-1/12,1+1/2+1/3+…=???

リーマン・ゼータ関数において、

ζ(0)=1+1+1+・・・=-1/2
ζ(-1)=1+2+3+4+・・・・・=-1/12
ζ(-3)=1+2^3+3^3+4^3+・・・・・=1/120
ζ(-5)=1+2^5+3^5+4^5+・・・・・=-1/252

といった一見では無限大に発散するような級数も、解析接続とかくりこみ理論とかいうことを考えると、意味を持たせることができるようです。

では、
ζ(1)=1+1/2+1/3+…=???
1-1+1-1+1-1+1-…=???

といった一見では収束しない級数などにおいても、新たな理論を考えて、意味を持たせることができるでしょうか?

もうそれは実数の意味ではなく、形式的な表現
1+1/2+1/3+…
の意味でしかないかもしれません。
しかし、なにか別のものとの関係式としてとらえることは可能でしょうか?

Aベストアンサー

面白いことを考えますね。

Z(1)=1+1/2+1/3+....1/n+...
X(1)=1-1+1-1+1-....

などに意味を持たせることができるかと言う事ですね。有限和を

A(n)≡a0+a1+a2+a3+....+an

と定義した時に、通常は級数和の値を

lim_{n->∞}A(n) = α

と定義しますね。つまり和は初項から順番に取っていってその値が収束するなら、それを級数和の値αと言うわけですが、

(1)「絶対収束しない級数は和の順番を並べかえるとその値を色々と変わる。」を逆手にとれば級数和の順番を変えてしまえば発散級数にも意味を持たす事は可能ですよね。順番を変えないにしても2個とびに和を取ってゆくということもありえます。例えば

lim_{n->∞} Σ_{k=0→2n}X(k) = 0 がこの級数和

と「定義」することはできます。それがどれくらい有用かはしりませんが。 


(2)または解析接続で定義するかぎりZ(1)=∞はさけようがないわけですが(理由はx=1がゼーター関数の級数表示の収束半径を決める特異点だから)、解析接続という条件を外せば、Z(1)に意味を持たせる事も可能ではないかと(私は)思います。がしかし、そういうことをするともはやZ(1)を拡張した関数としてのZ(x)などと言うものは存在しないことになりますよね。そんなものにどれくらい意味があるのか疑問です。つまりZ(1)に意味を与えたら、「それはそういう数」だと言って終りになりかねない気がします。

専門家じゃないので、書いたことに大して自信はありません。

面白いことを考えますね。

Z(1)=1+1/2+1/3+....1/n+...
X(1)=1-1+1-1+1-....

などに意味を持たせることができるかと言う事ですね。有限和を

A(n)≡a0+a1+a2+a3+....+an

と定義した時に、通常は級数和の値を

lim_{n->∞}A(n) = α

と定義しますね。つまり和は初項から順番に取っていってその値が収束するなら、それを級数和の値αと言うわけですが、

(1)「絶対収束しない級数は和の順番を並べかえるとその値を色々と変わる。」を逆手にとれば級数和の順番を変えてしまえば発散級数にも意味...続きを読む

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3と1/3 + 2と5/12 = 3+1/3 + 2+5/12
 = 3 + 2 + 1/3 + 5/12

もしも足した分数が仮分数になってしまったら、また真分数に直さないといけませんね。

Q=1+(1/√3) /1-1・(1√3) =√3+1/√3-1 この式の途中式をおしえてください。

=1+(1/√3) /1-1・(1√3)

=√3+1/√3-1

この式の途中式をおしえてください。
どうしてこうなるのかわからないので

Aベストアンサー

テキスト形式で描く場合は、それなりの注意が必要です。
問題の式は、{1+(1/√3) }/{1-(1/√3)} ではないですか。
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できるだけわかりやすく簡単に説明するにはなんて言ったらよいでしょうか??

Aベストアンサー

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例えば、(1/6)÷(1/4) の場合。
通分して (2/12)÷(3/12)、
割って (2×12)/(12×3) = 2/3。
割るとき、分子分母に共通の 12 を
約分しています。

通分せずに (1×4)/(6×1) としても、
2 で約分することは必要ですから、
手間はあまり違いませんね。

Q3x^2+7xy+2y^2-5x-5y+2=(x+2y-1)(3x+y-2)について

3x^2+7xy+2y^2-5x-5y+2を因数分解せよという問題で、xについて整理し、3x^2+(7y-5)x+(y-2)(2y-1)という方針で解いていくやり方と、
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をしてから、一時項を含めた因数分解に進めます。
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