相加相乗平均を使う不等式の問題で分からないものがあります。

a,b,c,dは全て正の数として

*(a+2/b)(2b+1/a)≧9
を証明する問題では、左辺を展開した後に相加相乗平均を使って証明をしてますよね。

ですが
*(a+2b)(2c+d)≧8√abcd
のときには
a+2b≧2√2ab
2c+d≧2√2cd
を証明して二つをかけ合わせますよね?

このとき方の違いはどうしてでしょうか?

上の問題の方では、下のようなとき方をしてはいけないと習った気がするのですが・・・・

「相加・相乗平均を使う不等式」の質問画像

A 回答 (2件)

「等号成立条件が同時に成立できるか」どうか、が相加相乗を2回使っていいかどうかの分かれ目です。



(a+2b)(2c+d)≧8√abcd
は、
a+2b≧2√2ab (等号成立条件は、a=2b)
2c+d≧2√2cd(等号成立条件は、2c=d)
で、a,b,c,dとの間に何の関係(制限)がないとすれば、a=2bと2c=dは同時に成りたつようにできます。
こういう場合には、2回に分けてもOK

(a+2/b)(2b+1/a)≧9
を相加相乗を2回使って解きたいというのは、つまり、
a+2/b ≧ 2√(2a/b)  (等号成立条件は、a=2/b)
2b+1/a ≧ 2√(2b/a) (等号成立条件は、2b=1/a)
で、これをかけて、(a+2/b)(2b+1/a)≧8 ていうことだと思いますが、
2つの等号成立条件
a=2/b
2b=1/a
というのが同時に成り立つことはありません。なんで、2つの式を単に掛け算した時にでてくる (a+2/b)(2b+1/a)≧8 の、最小値8は実際には取ることができません。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!

使い分けがよく分からなかったのですが、理解することができました。
相加相乗を2つ使って解くときに、2つの等式に矛盾が出てきてはいけないんですね。
ありがとうございます^^

お礼日時:2009/05/23 13:20

>*(a+2/b)(2b+1/a)≧9


>上の問題の方では、下のようなとき方をしてはいけないと習った気がするのですが・・・・

そんな事はない、工夫すれば出来る。a+2/b=a+1/b+1/b、2b+1/a=b+b+1/a に気がつけば良い。

a+1/b+1/b≧3(3)√(a/b^2) ‥‥(1) 等号は、ab=1の時。
b+b+1/a≧3(3)√(b^2/a)‥‥(2)  等号は、ab=1の時。
よって、(1)と(2)をかけると、{a+1/b+1/b}*{b+b+1/a}≧9。等号は、ab=1の時。
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この回答へのお礼

なるほど!
(a+2/b)と(2b+1/a)の等号成立条件をそろえることが出来れば、かけても大丈夫
ということでしょうか。。

回答ありがとうございます^^

お礼日時:2009/05/23 13:29

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