相加相乗平均を使う不等式の問題で分からないものがあります。

a,b,c,dは全て正の数として

*(a+2/b)(2b+1/a)≧9
を証明する問題では、左辺を展開した後に相加相乗平均を使って証明をしてますよね。

ですが
*(a+2b)(2c+d)≧8√abcd
のときには
a+2b≧2√2ab
2c+d≧2√2cd
を証明して二つをかけ合わせますよね?

このとき方の違いはどうしてでしょうか?

上の問題の方では、下のようなとき方をしてはいけないと習った気がするのですが・・・・

「相加・相乗平均を使う不等式」の質問画像

A 回答 (2件)

「等号成立条件が同時に成立できるか」どうか、が相加相乗を2回使っていいかどうかの分かれ目です。



(a+2b)(2c+d)≧8√abcd
は、
a+2b≧2√2ab (等号成立条件は、a=2b)
2c+d≧2√2cd(等号成立条件は、2c=d)
で、a,b,c,dとの間に何の関係(制限)がないとすれば、a=2bと2c=dは同時に成りたつようにできます。
こういう場合には、2回に分けてもOK

(a+2/b)(2b+1/a)≧9
を相加相乗を2回使って解きたいというのは、つまり、
a+2/b ≧ 2√(2a/b)  (等号成立条件は、a=2/b)
2b+1/a ≧ 2√(2b/a) (等号成立条件は、2b=1/a)
で、これをかけて、(a+2/b)(2b+1/a)≧8 ていうことだと思いますが、
2つの等号成立条件
a=2/b
2b=1/a
というのが同時に成り立つことはありません。なんで、2つの式を単に掛け算した時にでてくる (a+2/b)(2b+1/a)≧8 の、最小値8は実際には取ることができません。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!

使い分けがよく分からなかったのですが、理解することができました。
相加相乗を2つ使って解くときに、2つの等式に矛盾が出てきてはいけないんですね。
ありがとうございます^^

お礼日時:2009/05/23 13:20

>*(a+2/b)(2b+1/a)≧9


>上の問題の方では、下のようなとき方をしてはいけないと習った気がするのですが・・・・

そんな事はない、工夫すれば出来る。a+2/b=a+1/b+1/b、2b+1/a=b+b+1/a に気がつけば良い。

a+1/b+1/b≧3(3)√(a/b^2) ‥‥(1) 等号は、ab=1の時。
b+b+1/a≧3(3)√(b^2/a)‥‥(2)  等号は、ab=1の時。
よって、(1)と(2)をかけると、{a+1/b+1/b}*{b+b+1/a}≧9。等号は、ab=1の時。
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この回答へのお礼

なるほど!
(a+2/b)と(2b+1/a)の等号成立条件をそろえることが出来れば、かけても大丈夫
ということでしょうか。。

回答ありがとうございます^^

お礼日時:2009/05/23 13:29

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Q不等式

僕は数学の不等式系の問題や単元がものすごくキライで苦手です。
不等式が出てきたら一瞬にして集中力も切れ勉強する気がなくなります。
今、不等式の表す領域をチャートで勉強していたのですが全くわかりません。
それにやる気までなくなりました。
不等式の苦手意識を克服する方法はありませんか?
今高三理系で受験生です。

Aベストアンサー

苦手意識を作ってしまった事が諸悪の根源です。それを断ち切るには、最初に戻って一から勉強しなおすことです。数学Iで不等式を習いますから、教科書の問を順に解いていくことをお勧めします。不等式の扱いは他の分野に比べて特に難しいところはありません。復習して最初からやり直すことで何ら難しい分野ではないことが分かると思います。

 さて、不等式の表す領域ですが、これはがよくわからないのは不等式の難しさとは別のところにあると思います。特に不等式の表す領域におけるxとyの表す式の最大値最小値問題が難しいのは不等式が苦手なのとは別の次元にあります。

 数学の解答を読んで分からないのは、その解答が何をしているか気づかないからです。では、なぜ気付かないのかというと経験が少ないからです。チャートを勉強しているときに、解答を読んで分からなければ、むしろ自力で解いてみるといいです。人の解答を読むより、自分で解くほうがむしろ簡単です。(解答が読めない人の場合)指針など、解法の要点を理解したらあとは自分で解いてみたらどうでしょうか。

このアドバイスが参考になれば幸いです。

Qf(a+√b)=c+√b f(a-√b)=c-√b f(a+bi)=c+dif(a-bi)=c-di

f(a+√b)=c+√b
ならば
f(a-√b)=c-√b
は成り立ちますか。
√の中は変わらないので計算後も√bのままでいいでしょうか。

f(a+bi)=c+di
ならば
f(a-bi)=c-di
は成り立ちますか。
前回の質問が締め切られてしまいました。
前回回答いただきましたTacosanさま、かなり考えましたがヒントに最後まで答えることが出来ず、申し訳ありませんでした。一定の条件がわかりませんでした。こちらにも是非回答お願いいたします。詳しい回答本当にありがとうございました。

Aベストアンサー

反例:
xの一次式
f(x) = x ・(1-√2) + √2

f(1+√2) = (1+√2)・(1-√2) + √2
=1-2 + √2
=-1+ √2

f(1-√2) = (1-√2)・(1-√2) + √2
= 1 -2√2 + 2 + √2
= 3 - √2 ≠ - 1 - √2

---
f(x) = g(a,|x-a|) + (x - a)
と表せるなら
 f(a+√b) = g(a,|√b|) + √b = g(a,√b) + √b
 f(a-√b) = g(a,|-√b|) + (-√b) = g(a,√b) - √b
c = g(a,√b) とすれば
 f(a+√b) = c + √b
 f(a-√b) = c - √b
です。
ですが、 c + √b という形を見ただけでは、√b が「 + (x-a) 」に由来するものなのか、g(a,|x-a|)の|x-a|に由来するものなのか、g()に由来する xに依存しない定数√b なのか、判断できません。

Q数1 不等式

不等式がちっともわからないのでアドバイスお願いします。

※2乗は~で表させていただきます

xの不等式 x~2-2x≦0ー(1) 
     x~2-ax-2a~2ー(2)  (aは定数)

1、不等式(1)を解いて下さい

これは 0≦X≦2でいいと思うんですが。


2、0<a<1のとき、不等式(2)を求めてください、また不等式(1)、(2)を同時に満たすxの値の範囲を求めてください

全然解らないです((汗

3、不等式(1)、(2)を同時に満たすxの整数値がちょうど2個存在するときaのとりうる値の範囲を求めてください

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

skyline-gtr-32さん、こんにちは。

>xの不等式 x~2-2x≦0ー(1) 
1、不等式(1)を解いて下さい
これは 0≦X≦2でいいと思うんですが。

そうですね。skyline-gtr-32さんの答えどおりでいいです。

x^2-2x=x(x-2)≦0なので
0≦x≦2という答えの範囲になります。

>2、0<a<1のとき、不等式(2)を求めてください、また不等式(1)、(2)を同時に満たすxの値の範囲を求めてください

まず、(2)の不等式を因数分解します。

x^2-ax-2a^2=(x+a)(x-2a)<0・・・(☆)
なんですよね。
さて、
(x-p)(x-q)<0という不等式の答えの範囲は、
p<qという条件つきならば、p<x<q
が答えになりましたよね?

(☆)を見てみると、-aと2aの大小比較をして、
(小さいほう)<x<(大きいほう)
というのが答えになるのが分かると思います。

-aと2aはどちらが大きいのでしょうか?
2a<-aとすると、3a<0となるので、a<0となって0<a<1に矛盾します。
-a<2aとすると、0<3aとなって、これは0<a<1にあてはまりますから
-aのほうが2aより小さいです。
したがって、答えは

-a<x<2aとなります。

さらに、(1)(2)を同時に満たす、ということは

0≦x≦2
-a<x<2a・・・(★)
の2つを同時に満たしている、ということですね。
ここで、0<a<1ですから
(★)は-1<a<x<2a<2ということになりますから、0≦x≦2との共通部分は
0≦x<2a
ということになります。

>3、不等式(1)、(2)を同時に満たすxの整数値がちょうど2個存在するときaのとりうる値の範囲を求めてください

0≦x<2a
の中に、整数解が2個あるようにするには、
x=0,x=1が入ればいいので
1<2a
つまり(1/2)<a
0<a<1の条件と合わせれば、1/2 <a<1
ということになると思います。

skyline-gtr-32さん、こんにちは。

>xの不等式 x~2-2x≦0ー(1) 
1、不等式(1)を解いて下さい
これは 0≦X≦2でいいと思うんですが。

そうですね。skyline-gtr-32さんの答えどおりでいいです。

x^2-2x=x(x-2)≦0なので
0≦x≦2という答えの範囲になります。

>2、0<a<1のとき、不等式(2)を求めてください、また不等式(1)、(2)を同時に満たすxの値の範囲を求めてください

まず、(2)の不等式を因数分解します。

x^2-ax-2a^2=(x+a)(x-2a)<0・・・(☆)
なんですよね。
さて、
(x-p)(x...続きを読む

Q△ABCにおいて, (a+b):(b+c):(c+a)=(1+√3):(√2+√3-1):(2+√2

△ABCにおいて,
(a+b):(b+c):(c+a)=(1+√3):(√2+√3-1):(2+√2)が成り立つ時,この三角形の最も大きい角θの大きさを求めよ。
この問題のやり方を教えて下さい。

Aベストアンサー

角度θを求めるだけなので、k=1倍として考えてもよいと思います。

(a+b)=1+√3
(b+c)=√2+√3 -1
(c+a)=2+√2
とします。すると、

a+b+c=(2a+2b+2c)/2
={(a+b)+(b+c)+(c+a)}/2
=(1+√3 +√2+√3 -1 +2+√2)/2
=(2 +2√3 +2√2)/2
=1 +√3 +√2
であることがわかります。

したがって、
a=(a+b+c)-(b+c)
=1 +√3 +√2 -(√2+√3 -1)
=2
b=(a+b+c)-(c+a)
=1 +√3 +√2 -(2+√2)
=√3 -1
c=(a+b+c)-(a+b)
=1 +√3 +√2 -(1+√3)
=√2

辺の長さは 2>√2>√3 -1 より a>c>b
よって、aの対角を求めればよいことがわかります。

aの対角をθと置くと、
余弦定理から、
a^2=b^2 +c^2 -2・b・c・cosθ
2^2=(√3 -1)^2 +(√2)^2 -2(√3 -1)・√2・cosθ
4=4-2√3 +2 -2√2(√3 -1)cosθ
0=-2√3 +2 -2√2(√3 -1)cosθ
2√2(√3 -1)cosθ =-2(√3 -1)
√2cosθ =-1
cosθ =-1/√2

三角形の内角の和は180度なので、0<θ<π だから
θ =3π/4
が解答となります。

角度θを求めるだけなので、k=1倍として考えてもよいと思います。

(a+b)=1+√3
(b+c)=√2+√3 -1
(c+a)=2+√2
とします。すると、

a+b+c=(2a+2b+2c)/2
={(a+b)+(b+c)+(c+a)}/2
=(1+√3 +√2+√3 -1 +2+√2)/2
=(2 +2√3 +2√2)/2
=1 +√3 +√2
であることがわかります。

したがって、
a=(a+b+c)-(b+c)
=1 +√3 +√2 -(√2+√3 -1)
=2
b=(a+b+c)-(c+a)
=1 +√3 +√2 -(2+√2)
=√3 -1
c=(a+b+c)-(a+b)
=1 +√3 +√2 -(1+√3)
=√2

辺の長さは 2>√2>√3 -1 より a>c>b
よって、aの対角を求めればよいことがわかります。

aの対角をθと置く...続きを読む

Q不等式の問題

息子と共に不等式を勉強しています。問題レベルはx-3 ≤ 4 程度です。
今息子の頭は初めての不等式でこんがらがってます。そこで回答付きの問題をネットにて探しています。
一次不等式の問題、何かいいサイトありますか?
宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

あ~難しいですよね・・・

これなんかどうでしょう?

参考URL:http://www7a.biglobe.ne.jp/~mkun/Mathematics/renhutou.htm#1

Qa+b+2c=4k(a≧0,b≧0,c≧0,k>0

a+b+2c=4k(a≧0,b≧0,c≧0,k>0)
abcの最大値とその時のa,b,cを求めよ。

という問題が分かりません。助けてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

確かに相加相乗を使いますが、先ほどの式は違います。

n個の正数があるとき、
相加平均はn個の総和をnで割ったもの。
相乗平均はn個の積のn乗根をとったもの。

それに対して常に(相加平均)≧(相乗平均)が成り立ち、等号はn個の正数の値が全て等しいときになります。

今回はa,b,2cと3数があるので、
相加平均は(a+b+2c)/3
相乗平均は(a*b*2c)^(1/3)となり、
(a+b+2c)/3≧(2abc)^(1/3)が成り立ちます。

a+b+2c=4kより、4k/3≧(2abc)^(1/3)となります。
両辺を3乗すると、64k^3/27≧2abcで、abc≦32k^3/27
等号成立時がabcの最大値となるので、a=b=2c、即ちa=b=4k/3,c=2k/3のとき最大値32k^3/27となります。

Q二次不等式の問題です急いでます

二次不等式x二乗-(a+1)x+aについて次の問いに答えよ。
(1)a≠1のとき不等式を解け
(2)不等式を満たす整数xがただ1つだけとなるときのaの値の範囲を求めよ。

両方お願いします(._.)

Aベストアンサー

> 二次不等式x二乗-(a+1)x+aについて
不等式となってません。

x^2-(a+1)x+a<0
でしょうか?

そうであるとして回答します。

(1)a≠1
x^2-(a+1)x+a<0
(x-a)(x-1)<0

a>1のときの解 1<x<a
a<1のときの解 a<x<1

(2)
a=1とすれば不等式は
 (x-1)^2<0
これを満たす整数xは存在しないから a≠1

(1)の結果より
整数xがただ1つだけとなるときは

a>1のときの解 1<x<a → 2<a≦3
a<1のときの解 a<x<1 → -1≦a<0

まとめると
 2<a≦3 または -1≦a<0

もし不等式が
x^2-(a+1)x+a≦0
であれば

(1)a≠1
x^2-(a+1)x+a≦0
(x-a)(x-1)≦0

a>1のときの解 1≦x≦a
a<1のときの解 a≦x≦1

(2)
整数xがただ1つだけとなるときは
a=1のとき
 (x-1)^2≦0
これを満たす整数xは x=1 条件をみたす。

a≠1のとき
(1)の結果より

a>1のときの解 1≦x≦a → 1<a<2
a<1のときの解 a≦x≦1 → 0<a<1

まとめると
 0<a<2

> 二次不等式x二乗-(a+1)x+aについて
不等式となってません。

x^2-(a+1)x+a<0
でしょうか?

そうであるとして回答します。

(1)a≠1
x^2-(a+1)x+a<0
(x-a)(x-1)<0

a>1のときの解 1<x<a
a<1のときの解 a<x<1

(2)
a=1とすれば不等式は
 (x-1)^2<0
これを満たす整数xは存在しないから a≠1

(1)の結果より
整数xがただ1つだけとなるときは

a>1のときの解 1<x<a → 2<a≦3
a<1のときの解 a<x<1 → -1≦a<0

まとめると
 2<a≦3 または -1≦a<0

もし不等式が
x^2-(a+1)x+a≦0
であれば

(1)a≠1
x^2-(a+1)x+a≦0
(x...続きを読む

Qa^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2…

文字は正とする。
a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≧abc(a+b+c)
の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。

Aベストアンサー

実数x、y、zについて 絶対不等式:x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx ‥‥(1)が成立する。
何故なら、左辺-右辺=(1/2)*{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}≧0だから。等号はx=y=z ‥‥(2)の時。

>a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2

(1)でx=a^2、y=b^2、z=c^2 とするだけ。等号は文字が全て正から(2)より、a=b=c の時。

>b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≧abc(a+b+c)

(1)でx=ab、y=bc、z=ca とするだけ。等号は文字が全て正から(2)より、a=b=c の時 

Q三角不等式の問題

三角不等式の問題
 0°<=θ<=180°のとき、つぎの不等式を解け。
  1)sinθ<=1/2
  2)2cosθ-√3<0
  3)tanθ+1>=0

 考え方が分かりません;;丁寧にご解説下さると嬉しいです。
 
 不等式を解いて(2)cosθ<√3/2、(3)tanθ>=-1になることまでは分かりましたが…

Aベストアンサー

>考え方が分かりません;;丁寧にご解説下さると嬉しいです。

参考URLを見れば考え方が分かるはずです。ここをじっくり見て
単位円を使った三角不等式を解き方を勉強してみて下さい。
そうすれば解けるようになるかと思います。

その結果、分からない箇所があれば、補足にやったことを書いてどこが分からないかきいてください。

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/sankaku/sanhotei/sanhotei.htm

参考URL:http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/sankaku/sanhotei/sanhotei.htm

QF_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} の因数分解

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

のようなのですが、(b+c)(c+a)(a+b)を因数に持つことは分かりますが、残りの因数はどうやってもとめるのでしょうか?

一文字を変数と見て、地道に割り算するしかないのでしょうか?
効率的な計算方法はありますでしょうか?

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^...続きを読む

Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
a で C 回偏微分、した後、a,b,c に 0 を代入します。
F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
このようにすると、例えば C > 0 であれば、
k_ABC (A+2)!(B+1)!(C)! = (2n+1)! となり、係数が得られます。


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