No.2ベストアンサー
- 回答日時:
どれも収束します。
(1)Σ(n=1,∞) 1/n^2
n≧2の和を考え、
0 < 1/n^2 < 1/((n-1)n) = 1/(n-1)-1/n
に注意すると、部分和は
Σ(n=1,N) 1/n^2 < 2
がいえるので収束します。この極限値はフーリエ級数で求めることができて、結果は(π^2)/6になることが知られています。
(2)Σ(n=1,∞) 1/n^n
各項は正であり、しかも、収束する級数(上の(1))より小さいので,この級数も収束します。極限値は知りません。
(3)Σ(n=1,∞) nr^n 但し|r|<1
べき級数
Σ(n=1,∞) r^n = 1/(1-r)
は、収束円の内部で項別に微分してよいので、両辺を微分して
Σ(n=1,∞) nr^(n-1) = 1/(1-r)^2
よって、
Σ(n=1,∞) nr^n) = r/(1-r)^2
ご回答ありがとうございます。
(1),(2)は自分の力量が及ばない領域の問題のようです(^^;
(3)は実際に解いてみると、ちゃんと収束値が出せました。
とても助かりました。ありがとうございます。
No.1
- 回答日時:
(1)は、有名な級数でバーゼル問題といわれているものです。
収束値はπ^2/6です。http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC% …
(2)は、収束は明らかですが、収束値を求めるのは難しい気がします。
(3)は高校レベルの問題です。収束値は r/(r^2-1)^2です。
求めるのは、項をずらして引き算する(等比級数の公式を出すときと同じような操作)か、あるいは、等比級数の公式をrで微分してrをかければよいです。
ご回答ありがとうございます。
(1),(2)は普通には解けそうにはないと思っていましたが、やはり難しいのですね。(3)はご指摘いただいたとおりにしたら解けました。前者の解き方を実践してみたのですが、収束値がr/(1-r)^2になり、ご回答いただいたr/(r^2-1)^2とは異なってしまったのですが、いかがでしょうか。
とても助かりました。ありがとうございます。
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