絶対値の不等式の証明で困っています。

不等式|a-b|≦|a|+|b|はどのように証明したら良いのですか?
絶対値の性質くらいまでは分かったのですが、不等式の証明となると、どうすればいいのか分からないです。

学校では数研出版の精説高校数学という教科書を使っているのですが、解答がついていないのに、先生にあまり説明してもらえず、分からないままになってしまっています…

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A 回答 (3件)

両辺とも正またはゼロなので


#1さんのアドバイスどおり、両辺を二乗しても同値関係や不等号の向きは不変です。
(a-b)^2≦a^2+b^2+2|ab|
を証明すればいいですね。

[証明]
(右辺)^2-(左辺)^2=2(|ab|+ab)≧0 (等号は |ab|=-abの時成立)
したがって
(a-b)^2≦a^2+b^2+2|ab|=(|a|+|b|)^2
(|a|+|b|)^2-(a-b)^2=(|a|+|b|+|a-b|)(|a|+|b|-|a-b|)≧0

a,bが同時にゼロでない場合 (|a|+|b|+|a-b|)>0なので
(|a|+|b|-|a-b|)≧0 ∴|a|+|b|≧|a-b| (等号は|ab|=-abの時)

a,bが同時にゼロの場合
(|a|+|b|-|a-b|)=0
つまり、∴|a|+|b|=|a-b|

2つの場合をまとめて
 ∴|a|+|b|≧|a-b| (等号は|ab|=-ab または a=b=0の時)
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
2乗して考えれば良いのですね。とても分かりやすくて助かりました。

お礼日時:2009/05/26 06:23

基本的な問題は、チャートとかの問題集でだいたい網羅できるかと思うので、


其の手の問題集を購入し、授業と並行して勉強するのに役立てればいいかと思います。

|a-b|≦|a|+|b|
これ、右辺は正+正は明らかですよね?
左辺が最大のときでも、条件を満たすことを言えればいいわけです。
では、左辺が一番大きくなるのはいつか?
aとbの差が一番大きくなるわけですから、ここでa≧bとおけば
|a-b|=a-b
最大となるのを考えたいわけだから、
a,bそれぞれについて、正・負どちらの場合が最大になるのか?
を考え、その差が最大になる場合でも、与式が満たされていますね。
って言えればいいんです。

a≧bって置いて考えているので、この逆の場合でも同じになりますよって言ってあげてくださいね。
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両辺を2乗するのがわかりやすいでしょうか



あるいは、
aが正負
bが正負
で場合分け(4通り、まあ対称性を利用すれば3通りですが)するとかでしょうか
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
いつもの不等式の証明と同じように両辺を2乗するか、場合分けをすれば良いのですね。

お礼日時:2009/05/26 06:18

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