数列

問１　数列｛A(n)｝を
A(n):＝Σ1/k=1+1/2+1/3+…+1/n
で定める。このとき次式が成り立つことを証明せよ。

(1)|A(2n)-A(n)|≧1/2 (∀n∈N)

(2)lim(n→∞)A(n)=+∞

問2

lim(x→a)f(x)=αならば、ある整数δが存在して0＜｜x-a｜＜δを満たす任意の実数xに対して1/2|α|≦|f(x)|≦|α|＋1となることを示せ。

問3　　次の定理を証明せよ

lim(x→a)f(X)＝α、lim(x→a)＝βとすると、

(1) lim(x→a)(f(x)+g(x))=α+β(=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x))

(2) lim(x→a)f(x)g(x)=αβ(=lim(x→a)f(x)×lim(x→a)g(x))

g(x)≠0 β≠0とする
(3) lim(x→a)f(x)/g(x)=α/β(=lim(x→a)f(x)/lim(x→a)g(x))

上の定理において極限x→aをx→a±0あるいはx→±∞に変えてもよい


大学の数学が全然ついていけません。明日出さなければならないレポートが出来なくて困っています。どなたか解法を教えてはいただけないでしょうか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/05/26 18:21

問1

(1): A(2n)-A(n) がどういう式になるかを考える. 分母はすべて 2n 以下であることに注意. でも, 明らかに絶対値は不要だよなぁ.
(2): (1) で絶対値が不要であることに気づけばほぼ自明.

問2
極限の定義を思い出してください.... あれ? 条件が足りない....

問3
基本的にはこれも同じく極限の定義からなんとかなります.

少なくとも問2 と問3 の (1) あたりは極限の定義を理解して使えるようになっていれば簡単なはずです.