標準形の双曲線の方程式
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
において、
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 0

(x/a + y/b)=0 or (x/a - y/b)=0
を考えると、これは二つの漸近線を意味しています。

逆に、二直線px+qy+1=0とrx+sy+1=0が与えられたとき、それを二つの漸近線とする一般の双曲線群は、
(px+qy+1)(rx+sy+1)=k
と表されます。

次に、標準形の楕円の方程式
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
において、
(x/a + y/b)=0 or (x/a - y/b)=0
は、画像のように、「楕円を頂点で接する長方形で囲ったとき、長方形の二つの対角線」を意味します。

では、二直線px+qy+1=0とrx+sy+1=0が与えられたとき、それを「楕円を頂点で接する長方形で囲ったとき、長方形の二つの対角線」とする楕円群は、どのように表されるのでしょうか?

類似を考えて上のような問題設定にしたのですが、もしかしたら設定自体が不適切なのかもしれません。
とにかく一年以上前から考えているのですが、思いつかないので、いいアイデアがありましたら教えてください。

「二つの漸近線から双曲線を求める方法。楕円」の質問画像

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sy 意味」に関するQ&A: SYの意味

A 回答 (2件)

No.1 のAkira Ojiです。


ひとつだけいい忘れたことがあります。

貴方がいわれていることを繰り返しますと
「標準形の双曲線の方程式
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
において、
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 0

(x/a + y/b)=0 or (x/a - y/b)=0
を考えると、これは二つの漸近線を意味しています。」

標準形の双曲線の方程式で x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 右辺の「1」を「0」に置き換えたときに「何をしたか」というとわたしの第1回答内で2組の外接する双曲線
(x/a)^2-(y/b)^2=R^2 と (x/a)^2-(y/b)^2=-R^2

の「長方形」のサイズを表す、横 Ra, 縦 Rb のパラメータRを「0」にしたことになります。すなわち。外接する長方形が限りなく小さくなったとき、それに外接していた双曲線は双曲線の「漸近線」になったことになります。x^2/a^2 - y^2/b^2 = 0 ⇔ (x/a + y/b)=0 or (x/a - y/b)=0
そのとき、「内接していた楕円」は「原点に退化して」1点(原点)になったということです。x^2/a^2 + y^2/b^2 = 0 ⇔ x=0,y=0

原点を「中心」とするいろいろな「長方形」横 Ra, 縦 Rb の3つのパラメータ (R,a,b) [実は独立な2つのパラメータ、a'=Ra と b'=Rb]でそれに外接・内接する双曲線・楕円の対応する組が曲線群として漸近線を含めて決まる、ということです。
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問題設定が悪いとは思いませんが、楕円(x/a)^2+(y/b)^2=1が内接する長方形(4本の直線x=a,x=-a,y=b,y=-bで囲まれる長方形)の2つの対角線の延長した直線が,「長方形に外接」する双曲線の2本の漸近線になっているわけです。

実は「長方形に外接」する双曲線は2組あります。(x/a)^2-(y/b)^2=1 と (x/a)^2-(y/b)^2=-1 です。1つの長方形を決めた場合は、1つの楕円と2つの双曲線を決めることになります。

一方、漸近線を決めた場合、双曲線の2本の漸近線を
x/a+y/b=0 と x/a-y/b=0
とした場合は、その2本の漸近線に関して双曲線群を考えることができます。Rをパラメータとして、
(x/a)^2-(y/b)^2=R^2 と (x/a)^2-(y/b)^2=-R^2

は2組の双曲線群を表しています。これを標準形に変形すると
(x/aR)^2-(y/bR)^2=1 と (x/aR)^2-(y/bR)^2=-1 

となりますから、外接している長方形がR倍に大きくなった2組の双曲線を表しています。そのときには、実はその長方形に内接している楕円があるわけで、(x/aR)^2+(y/bR)^2=1で表されています。楕円は漸近線と「直接」的には関係していないように見えるので、内接する長方形を通して、その長方形の角を通る2本の対角線が、その「楕円に相補的な」2つの双曲線の漸近線になっている。その「双曲線群」に対応して「楕円群」が決まると考えればいいと思います。
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Q分数関数のグラフの漸近線の方程式について教えてください。

分数関数のグラフの漸近線の方程式について教えてください。


f(x)=2x^2/x^2-3x+2

この関数についてなのですが、解説を読んでも理解できなかった箇所があったので質問させていただきます。

f(x)=2+{6x-4/(x-1)(x-2)}と変形できるから、
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lim(x→2+0)f(x)=∞ lim(x→2-0)f(x)=-∞

このあとはlim(x→±∞){f(x)-2}=0となって、求める漸近線の方程式はx=1,x=2,y=2
となっているのですが、∞と-∞の区別がどうしてこうなるのか分かりませんでした。
すいませんが回答宜しくお願いします。

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x=1とx=2でf(x)は発散するのはいいですよね?
x→1+0はxを1より大きい値から1に近づけるという意味です。
なのでx=1近傍で1より少しだけ大きいxを考えてみてください。このとき変形した式の第二項の分子は正、分母のx-2は負、x-1は正なので全体の符号は負になります。このxを限りなく1に近づけていったとしてもx-1は正のままで無限小になる(6x-4やx-2も当然符号は変化しない)ので全体は負のまま発散するわけです。

Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
(2)では外せきが8,-6,-5となり
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外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
だからそれと正反対のベクトルも、ベクトルa、bに垂直な単位ベクトルだから、これも答えに入れれば
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Q数IIIグラフ・漸近線に関する質問です。

いつもお世話になり、ありがとうございます。今回も宜しくお願い致します。

今回は問題ではなく、私自身の疑問についてなのですが、数IIIのグラフを描く際に求める漸近線についてです。

例えば、f(x)=(x^2+x-5)/(x-2)のグラフの漸近線を求める場合、
f(x)=(x+3) + {1/(x-2)} という形に変形させて、漸近線はy=x+3とx=2だと求められると思います。

そこで質問なのですが、漸近線の関数は上のように必ず1次関数なのでしょうか。

解いていた問題の中で、

y= x^2 + (1/x^2) のグラフを求める問題があって、この場合、1/x^2という分数関数の前のx^2は漸近線になるのではないかと思いました。
理由は、x→∞のとき、{f(x)-x^2}→0 になるからです。
でも、(確実に私の経験不足ですが)いままでに漸近線は1次関数以外見たことがないため、私が間違っているのか分からず困っています。

数IIIのグラフを描く際の漸近線は必ず1次関数までなのでしょうか。

お手数をおかけしますが、宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

漸近線の定義に1次関数に限るとは決して書いていません。いかに高校数学といえどもそんなに理不尽ではありません。教科書をよく見なおしてください。

>y= x^2 + (1/x^2) のグラフを求める問題があって、この場合、1/x^2という分数関数の前のx^2は漸近線になるのではないかと思いました。

その通りです。似たような話がurlに出ています。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BC%B8%E8%BF%91%E7%B7%9A

Qx+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

 ★x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

この問題について説明をお願いします。

Aベストアンサー

おおざっぱな説明になりますが、左の式を
z=-x-y
として、それを右の式のzに代入します。
それを展開してまとめると
x^2-2xy+y^2=0
という式になります。
あとはこれを因数分解すれば
(x-y)^2=0
となるので、x=yという答えがでます。
与えられた条件がほかになければこれでいいはずです。

Q漸近線を求めるときの場合分け

タイトルの通りなのですが、漸近線の求め方について質問です。よろしくお願いします。
漸近線の基本的な求め方は、1、y軸に平衡な漸近線、2、y軸に平衡でない漸近線、とあります。

これを使って
問題1、y=(x^2-x+1)/(x-1)の漸近線を求めよ。
問題2、y=2x+(x^2-1)^(1/2)の漸近線を求めよ。
です。

解答は、問題1では式を変形して、漸近線を予想して、解いています。問題2では、明らかに、y軸に平行な漸近線はない、として、y軸に平行でない漸近線を求めています。

ですが、ここで質問です。問題1では、予想して求めていますが、これは入試の解答方法としていいのでしょうか。また、問題
で、明らかにy軸に平行な漸近線はない、としていますが、グラフもかけないで、どうしてそのようにいいきれるのでしょうか。ただ、これには、注として、グラフの概形は、y=2xとy=(x^2-1)^(1/2)の和曲線を考えるとありました。が、これの意味もよくわからないのです。

勉強不足ですが、どなたか存知の方、アドバイスをいただけませんか。よろしくお願いします。

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ですが、ここで質問で...続きを読む

Aベストアンサー

y=ax+bがy=f(x)の漸近線であれば、必ず

f(x)-(ax+b)→0 (x→∞) ・・・★
(当然、x→-∞の漸近線を考えるのであれば、x→-∞です。以下同様)

が成り立ちます。逆に、これが成り立てば、ほぼy=ax+bは漸近線であると考えて差し支えありません。(ほぼと書いたのはy=f(x)とy=ax+bが交わる可能性があるから)

したがって、このようなa,bが(何らかの予想をたてて)見つかったのであれば、y=ax+bが漸近線として大きな問題は起こりません。
>問題1では、予想して求めていますが、これは入試の解答方法としていいのでしょうか。
具体的にどのような解答なのか分かりませんが、多分、問題ありません。

ちなみに、実際に、このようなa,bを計算で求めるとしたら、
a=lim[x→∞]f(x)/x (★をxで割ってx→∞としたもの)
としてaを求めます。このaを元に
b=lim[x→∞](f(x)-ax)
としてbを求めます。(もちろん、これらが収束する保証はありませんが、収束しないのなら、漸近線を持たないという事です)


>また、問題
>で、明らかにy軸に平行な漸近線はない、としていますが、グラフもかけないで、どうしてそのようにいいきれるのでしょうか。
y軸に平行な漸近線というのは、y=1/xにおけるy軸とか、y=tanxにおける、直線x=π/2のような奴です。
要するにf(x)がx→α(有限の値)で発散するような奴です。ほぼ100%、分母が0になるような奴です。
>y=2x+(x^2-1)^(1/2)
は、途中で発散することがないので(いたるところで連続ですから)、y軸に平行な漸近線を持ちません


>ただ、これには、注として、グラフの概形は、y=2xとy=(x^2-1)^(1/2)の和曲線を考えるとありました。

「南京玉すだれ」って分かりますか?
http://www.eonet.ne.jp/~tosimaru/
↑こんなのです。これの竹串(?)って、何か竹串に平行な方向にずれますよね。
※各竹串は、普通全部同じ長さですが、それぞれ長さが違うとしましょう(y=f(x)の形)

この竹串が垂直になるように、水平な面に置くと、すだれの上端はy=f(x)という形状になっているはずです。

でも、坂道に置くと(各竹串の下端を地面につける)、すだれの上端はy=f(x)という形にはなってませんよね。
坂道の高さ(?)+すだれの高さ(=f(x))
っていう感じの形になっているのがイメージできませんかね?

これと同じように、
y=2xという「坂道」の上に、√(x^2-1)という形の「すだれ」を置いている、というイメージで
y=2x+√(x^2-1)というグラフの形状をイメージしてみよう、
という感じの意味ですね。
(・・・って、上手く説明できません。。。図は書けないし、日本語は下手なので、分からなかったら、やんわりとスルーしてあげてくださいw)

y=ax+bがy=f(x)の漸近線であれば、必ず

f(x)-(ax+b)→0 (x→∞) ・・・★
(当然、x→-∞の漸近線を考えるのであれば、x→-∞です。以下同様)

が成り立ちます。逆に、これが成り立てば、ほぼy=ax+bは漸近線であると考えて差し支えありません。(ほぼと書いたのはy=f(x)とy=ax+bが交わる可能性があるから)

したがって、このようなa,bが(何らかの予想をたてて)見つかったのであれば、y=ax+bが漸近線として大きな問題は起こりません。
>問題1では、予想して求めていますが、これは入試の解答方法としていいのでし...続きを読む

Qx^2-y^2+x+3y-2=0 ⇔(x+y-1)(x-y+2)=0にする方法

教えてください!!いま二次曲線を学んでるのですけど、x^2-y^2+x+3y-2=0 
⇔(x+y-1)(x-y+2)=0にする方法を
教えてください!!
なぜかというと、私は
(x+1/2)^2-(y-3/2)=4としかできません!

Aベストアンサー

(⇒)
xの次数でそろえます。

x^2-y^2+x+3y-2=0

x^2+x-(y^2-3y+2)=0

()の中を因数分解します。

x^2+x-(y-1)(y-2)=0

全体を因数分解します。

(x+y-1)(x-y+2)=0

※yの次数でそろえてもできます。
※因数分解の仕方は教科書がわかりやすいと思うので、
教科書を参照してください。


(←)
一つずつ掛け合わせて展開していきましょう。

(x+y-1)(x-y+2)=0

x^2-y^2+x+3y-2=0

Q漸近線の求め方

題名の通りですが、漸近線の求め方の公式について質問です。
漸近線にはy軸に平行かどうかによって2タイプあると思いますが、y軸に平行でない漸近線y=mx+nの求め方について質問です。

説明には
y=mx+nが曲線y=f(x)の漸近線になるための条件は本来
Lim(x→+∞){f(x)-(mx+n)}=0またはLim(x→-∞){f(x)-(mx+n)}=0であるが、※
mについてはlim(x→±∞){f(x)/x-(m+n/x)}=0であるから、これとlim(x→±∞)n/x=0より
m=lim(x→±∞)f(x)/xであるといえる。

私は※までは理解できます。でも三行目以降の
「mについてはlim(x→±∞){f(x)/x-(m+n/x)}=0であるから、」
の意味がわかりません。前の式をxで割っているようですが、どうしてxで割っているんでしょうか?

いつもは、関数を割って、漸近線を求めていたのですが、上の方法の漸近線の求め方もマスターしたいと思います。
どなたかご助言をよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

x→+∞の場合だけ考えます。x→ー∞も同様です。
まずf(x)がx→+∞で漸近線を持つとは、
「ある実数m,nがあって
Lim(x→+∞){f(x)-(mx+n)}=0
が成立する」
が定義です。
漸近線を持つと仮定すれば
Lim(x→+∞)1/x*{f(x)-(mx+n)}=Lim(x→+∞)1/x*Lim(x→+∞){f(x)-(mx+n)}=0*0=0
ですよね。よって
m=lim(x→±∞)f(x)/xです。
すなわち漸近線を持つならば傾きはm=lim(x→+∞)f(x)/xで求められる。
直感的には漸近線を持つ場合は遠くで
定数*xとなるので、xで割って傾きを求めていると
思えばそんなに不思議ではないと思います。
では逆にm=lim(x→+∞)f(x)/x が存在するときに
漸近線の存在はいえるでしょうか?
これはn=lim(x→+∞)[f(x)-mx]の存在を示してはじめて
漸近線が存在すると言えます。
ではm=lim(x→+∞)f(x)/x が存在するとき、
自動的にn=lim(x→+∞)[f(x)-mx]が存在すると一般に言えるでしょうか?考えてみてください。
(具体的なf(x)があたえられれば、mを計算してみて、m
が収束していれば、次にnを計算してみて、収束していればめでたしめでたし漸近線となるわけです。)

x→+∞の場合だけ考えます。x→ー∞も同様です。
まずf(x)がx→+∞で漸近線を持つとは、
「ある実数m,nがあって
Lim(x→+∞){f(x)-(mx+n)}=0
が成立する」
が定義です。
漸近線を持つと仮定すれば
Lim(x→+∞)1/x*{f(x)-(mx+n)}=Lim(x→+∞)1/x*Lim(x→+∞){f(x)-(mx+n)}=0*0=0
ですよね。よって
m=lim(x→±∞)f(x)/xです。
すなわち漸近線を持つならば傾きはm=lim(x→+∞)f(x)/xで求められる。
直感的には漸近線を持つ場合は遠くで
定数*xとなるので、xで割って傾きを求めていると
思えばそんなに不思議ではないと...続きを読む

Qu=g(r)/r r=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)のとき、uxx+uyy+uzz

u=g(r)/r r=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)のとき、uxx+uyy+uzzをrの関数で表させる問題なんですが、まずux=∂g/∂r(1/r)-g(1/r^2)であってますか?ここから先どうすればいいのか分かりません。Uxxがでれば対象性から求められそうなきがしますが。gはC^(2)級とあったのですがこれはどういう意味ですか?

Aベストアンサー

#2のKENZOUです。
>uxx=(∂ur/∂r)rx・rx+ur・(∂rx/∂x)
右はいいのですが、(∂ur/∂r)rx・rxとなる理由が分かりません。

ux=(∂u/∂r)(∂r/∂x)=ur・rx
uxx=(∂ur/∂r)(∂r/∂x)・rx+・・
  =(∂ur/∂r)rx・rx+・・

Q漸近線

分数の関数、例えば
Y=(x^2+4)/x
のグラフの漸近線の出し方を教えてください。

Aベストアンサー

漸近線の定義を思い出してと、
漸近線の定義は、
(1) (x→a+0)limf(x)=±∞  または、(x→a-0)limf(x)=±∞
のとき、 直線x=a は漸近線である。
(2)関数y=f(x)が式の変形によりf(x)=mx+b+g(x)の形となりx→±∞ のとき g(x)→0となるならy=mx+b がy=f(x)の漸近線である。

ですから問題の「Y=(x^2+4)/x 」は(2)を使うことになりますね。
変形すれば
Y=x+(4/x) g(x)=(4/x) になるね。 x→±∞ のとき g(x)→0
だから 漸近線は、Y=x になるね。

こんなんでいいのかな。

Q(1)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線3x+y+10=0が共有点

(1)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線3x+y+10=0が共有点をもつとき、rの値の範囲を求めなさい。
(2)円x^2+y^2=18と直線y=x+mが共有点をもつとき、定数mの値の範囲を求めなさい。
(3)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線4x-y+17=0が異なる2点で交わるとき、rの値の範囲を求めなさい。
(4)円x^2+y^2=5と直線y=3x+mが接するとき、定数mの値の範囲を求めなさい。
(5)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線x-3y-10=0が共有点を持たないとき、rの値の範囲を求めなさい。

解き方含め教えてください!!
お願いします。

Aベストアンサー

(1)
共有点を持つ、つまり実数解をもつということです。
実数解をもつということは、判別式DがD≧0となればよいのは分かりますね?
さて、何と何が実数解をもつかというと、x^2+y^2=r^2と3x+y+10=0ですね。
3x+y+10=0をy=-3x-10と変形して、これをx^2+y^2=r^2に代入して、xの2次方程式にしてD≧0を計算すればいいわけです。

(2)
同様に考えましょう。
y=x+mをx^2+y^2=18に代入してxの2次方程式にして、D≧0を計算すればmの値の範囲が分かるはずです。

(3)
異なる2点で交わる。つまり重解を持たずに実数解をもつ場合です。このとき判別式DはD>0となります。
他の考え方は一緒です。
4x-y+17=0を変形してx^2+y^2=r^2に代入し、その2次方程式の判別式DをD>0として計算するだけです。

(4)
接するとき、つまり重解をもつ時です。この時判別式DはD=0となります。

(5)
共有点を持たないときは、実数解をもたないときになります。
D<0ということです。


長くなりましたが、判別式の使い方さえ把握していれば全部同じ考え方で解ける基本問題ですね。

(1)
共有点を持つ、つまり実数解をもつということです。
実数解をもつということは、判別式DがD≧0となればよいのは分かりますね?
さて、何と何が実数解をもつかというと、x^2+y^2=r^2と3x+y+10=0ですね。
3x+y+10=0をy=-3x-10と変形して、これをx^2+y^2=r^2に代入して、xの2次方程式にしてD≧0を計算すればいいわけです。

(2)
同様に考えましょう。
y=x+mをx^2+y^2=18に代入してxの2次方程式にして、D≧0を計算すればmの値の範囲が分かるはずです。

(3)
異なる2点で交わる。つまり重解を持たずに実数解をもつ...続きを読む


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