標準形の双曲線の方程式
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
において、
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 0

(x/a + y/b)=0 or (x/a - y/b)=0
を考えると、これは二つの漸近線を意味しています。

逆に、二直線px+qy+1=0とrx+sy+1=0が与えられたとき、それを二つの漸近線とする一般の双曲線群は、
(px+qy+1)(rx+sy+1)=k
と表されます。

次に、標準形の楕円の方程式
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
において、
(x/a + y/b)=0 or (x/a - y/b)=0
は、画像のように、「楕円を頂点で接する長方形で囲ったとき、長方形の二つの対角線」を意味します。

では、二直線px+qy+1=0とrx+sy+1=0が与えられたとき、それを「楕円を頂点で接する長方形で囲ったとき、長方形の二つの対角線」とする楕円群は、どのように表されるのでしょうか?

類似を考えて上のような問題設定にしたのですが、もしかしたら設定自体が不適切なのかもしれません。
とにかく一年以上前から考えているのですが、思いつかないので、いいアイデアがありましたら教えてください。

「二つの漸近線から双曲線を求める方法。楕円」の質問画像

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A 回答 (2件)

No.1 のAkira Ojiです。


ひとつだけいい忘れたことがあります。

貴方がいわれていることを繰り返しますと
「標準形の双曲線の方程式
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
において、
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 0

(x/a + y/b)=0 or (x/a - y/b)=0
を考えると、これは二つの漸近線を意味しています。」

標準形の双曲線の方程式で x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 右辺の「1」を「0」に置き換えたときに「何をしたか」というとわたしの第1回答内で2組の外接する双曲線
(x/a)^2-(y/b)^2=R^2 と (x/a)^2-(y/b)^2=-R^2

の「長方形」のサイズを表す、横 Ra, 縦 Rb のパラメータRを「0」にしたことになります。すなわち。外接する長方形が限りなく小さくなったとき、それに外接していた双曲線は双曲線の「漸近線」になったことになります。x^2/a^2 - y^2/b^2 = 0 ⇔ (x/a + y/b)=0 or (x/a - y/b)=0
そのとき、「内接していた楕円」は「原点に退化して」1点(原点)になったということです。x^2/a^2 + y^2/b^2 = 0 ⇔ x=0,y=0

原点を「中心」とするいろいろな「長方形」横 Ra, 縦 Rb の3つのパラメータ (R,a,b) [実は独立な2つのパラメータ、a'=Ra と b'=Rb]でそれに外接・内接する双曲線・楕円の対応する組が曲線群として漸近線を含めて決まる、ということです。
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問題設定が悪いとは思いませんが、楕円(x/a)^2+(y/b)^2=1が内接する長方形(4本の直線x=a,x=-a,y=b,y=-bで囲まれる長方形)の2つの対角線の延長した直線が,「長方形に外接」する双曲線の2本の漸近線になっているわけです。

実は「長方形に外接」する双曲線は2組あります。(x/a)^2-(y/b)^2=1 と (x/a)^2-(y/b)^2=-1 です。1つの長方形を決めた場合は、1つの楕円と2つの双曲線を決めることになります。

一方、漸近線を決めた場合、双曲線の2本の漸近線を
x/a+y/b=0 と x/a-y/b=0
とした場合は、その2本の漸近線に関して双曲線群を考えることができます。Rをパラメータとして、
(x/a)^2-(y/b)^2=R^2 と (x/a)^2-(y/b)^2=-R^2

は2組の双曲線群を表しています。これを標準形に変形すると
(x/aR)^2-(y/bR)^2=1 と (x/aR)^2-(y/bR)^2=-1 

となりますから、外接している長方形がR倍に大きくなった2組の双曲線を表しています。そのときには、実はその長方形に内接している楕円があるわけで、(x/aR)^2+(y/bR)^2=1で表されています。楕円は漸近線と「直接」的には関係していないように見えるので、内接する長方形を通して、その長方形の角を通る2本の対角線が、その「楕円に相補的な」2つの双曲線の漸近線になっている。その「双曲線群」に対応して「楕円群」が決まると考えればいいと思います。
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漸近線の方程式がy=2x+5,y=-2x-3で、点(-1,1)を通る双曲線の方程式を求めよ。
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Aベストアンサー

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・基本式 x²/a² - y²/b² = 1
・頂点:(±a, 0)
・焦点:(±√(a²+b²), 0)
・漸近線:y=±(b/a)x

「漸近線の方程式がy=2x+5,y=-2x-3で、点(-1,1)を通る双曲線の方程式を求めよ」が問題なのだから、

漸近線をx方向に2、y方向に-1ずらして基本形の漸近線、通る点を一旦ずらしている。
そうして基本式を求めて、それをx方向に-2、y方向に1ずらせば元の問いの答えとなる。

元の漸近線の方程式y=2x+5,y=-2x-3をx方向に2、y方向に-1ずらすと
(y+1)=2(x-2)+5 ⇒ y=2x
(y+1)=-2(x-2)-3⇒ y=-2x

になるでしょう?

Q数IIIってどこで使われますか?

今高1です
数IIIはおもにどの学部の受験で扱われる教科ですか?
なんか、とても難しいと聞きました…
私はまだ具体的に学部や大学は決まってませんが、今のところ理学部や理工学部に興味があります。そういった、学部だとどのような教科が必要になってくるのでしょうか?
理系の学部を目指している人はセンター試験では現代文、古典、歴史系といった文系の教科は受けるものなんですか?それとも自分の受けたい大学の学部によって変わりますか…?

そういったところが全く分からないので教えてください!お願いします

Aベストアンサー

数III…微積、複素数平面、曲線

理系全般の学部、工学系や薬学・医学系など。
数IIIを全く理解せずに理系学部に入ると、初年度の基礎教育で苦戦します。

つまり、大学で学ぶのに必要だから数IIIを出題するのです。
数IIIは難しくはありません。難しいという人は、たいてい数II・Bが分かっていない人です。
解き方が完全にパターン化されているのが数III。まあ、高い計算力は必要ですけど。
身近なところで言うと、物理学を学ぶ際に数IIIが必要になります。

理系の学部で必要なこと
・論理的思考 ⇒ 数学・国語
・口頭による説明能力、文章による思考の表現力 ⇒ 国語・英語
・PCスキル(エクセルなど。マクロが組めるなら申し分ない) ⇒ 情報
・文章読解力、英語の読み書き ⇒ 国語・英語
・計算能力・数式による自然現象の表現 ⇒ 数学・物理・化学
・専攻に対する興味・関心・探求心
・実験を行う際、他人との協調性


国公立大学を受験する場合は、センター試験で5教科7科目を受けるパターンが多いです。
だから、文系の科目も受験します。
センター試験は基礎的なレベルなので、理系ならクリアすべき試験です。

私大の場合だと異なります。入試案内を見れば書いてあります。

数III…微積、複素数平面、曲線

理系全般の学部、工学系や薬学・医学系など。
数IIIを全く理解せずに理系学部に入ると、初年度の基礎教育で苦戦します。

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