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長方形のうち正方形の周の長さが最小であることを証明するのに相加平均、相乗平均の大小関係を用いるのは何故ですか?

A 回答 (3件)

長方形の周の長さが 例えば a , b とすれば、2(a+b) と相加の形になるから、!



2(a+b)≧2・2√ab ただし、a,b>0で、 最小値は、等号成立時だから a=b つまり、正方形の時である。
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条件が不足しています。

多分、「面積が一定ならば」ということだと思いますが...

面積=A (一定) で一辺の長さを x とした時、長方形の各辺の長さは
x, A/x, x, A/x
となる。この時、周の長さは
2x+2A/x
である。

ここで、未知数と未知数の逆数の和が出てきた時は相加平均と相乗平均の関係の定理を用いるのが定番です。なぜなら、ある数のその逆数の積は 1 であり、未知数が消えるからです。
4(x+A/x)/2≧4√x(A/x)=4√A
等号成立条件は
x=A/x
x²=A
x は長さなので x>0
x=√A
これは正方形であることを示す。
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相加平均、相乗平均の大小関係を使っても、使わなくても証明できるが、


使ったほうが楽(簡単)だし、記述量も減るから。ただそれだけのこと。
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