微分・極限値

計算について質問です
よろしくお願いします

/は普通の分数
／は普通の分数の下にまた分子がくるという意味です

１．　次の関数ｆ（ｘ）を定義によって微分しなさい。
f（ｘ）＝１/x
ｆ´（ｘ）＝lim h →０ ｆ（x＋h）－ｆ（ｘ）
＝lim h →０ 1/x＋ｈ-1/x ／ｈ
＝lim h →０ 1/h{x-(x＋h)/x(x＋ｈ)}
＝lim h →０ －１/x(x＋h)
＝－１/xの二乗

このlim h →０ 1/x＋ｈ-1/x ／ｈのとき
なぜlim h →０ 1/x＋ｈではなく、ｈもｘと一緒になって分子に移動しているのかがわかりません。
その計算方法を教えてください

よろしくおねがいします。

No.2 回答者： owata-www 回答日時： 2009/05/29 14:44

＞ｆ（ｘ＋ｈ）＝ｆｘ＋ｆｈ＝１/x＋ｆｈとなると考えてしまう

のはなぜでしょうか

f(x+h)≠f(x)+f(h)です（成り立つ時もありますが）
f(x+h)というのは言い換えればxにx+hを代入したものです

別の言い方をすればx+h＝tと置けば
f(x+h)＝f(t)＝1/t＝1/(x+h)
ですね

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

わたしは、XとYはそれぞれ違う数字として別々に考えるものだと思っていました。

（X＋Y）というのは一つの数字なのですね。。。


ありがとうございます！

お礼日時：2009/06/03 01:02

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/05/29 13:59

f（ｘ）＝１/x

ｆ´（ｘ）＝lim h →０ {ｆ（x＋h）－ｆ（ｘ）}／h
＝lim h →０ ｛1/(x＋ｈ)-1/x} ／ｈ…(1)
ここで
1/(x＋ｈ)-1/x
＝x/x(x+h)-(x+h)/x(x+h)
より（通分です）
(1)→lim h →０ 1/h*{x-(x＋h)/x(x＋ｈ)}
＝lim h →０1/h*(-h)/x(x+h)
＝lim h →０ －１/x(x＋h)
＝－１/xの二乗
です

この回答への補足

早速の回答ありがとうございます
最初のｆ（ｘ＋ｈ）に
微分の定義にｆ（ｘ）＝１/xを代入すると

ｆ（ｘ＋ｈ）＝ｆｘ＋ｆｈ＝１/x＋ｆｈとなると考えてしますのですが
なぜ　１/x＋h　とｈもしたにくるのですか？

よろしくお願いします。

補足日時：2009/05/29 14:15